మనస్సును రంజింప చేసే క్రీడలలో గణితం పాజిల్స్ ఒక్కటి. ఇలాంటి క్రీడలలో ఒక గొప్ప క్రీడాకారుడుగా దత్తాత్రేయ రామచంద్ర క్రాప్రెకర్ గుర్తింపు పొందారు.

ముంబాయికి 70 మైళ్ళ దూరంలో వున్న దహన్ దగ్గర జనవరి 17, 1905 నా కాప్రెకర్ జన్మించాడు. చిన్నతనంలోనే తల్లే మరణించగా తండ్రి సంరక్షణలో పెరిగాడు. సాధారణ విద్యార్ధిగా ఉన్నప్పటికి ఇతనిలో గల గణిత సామర్ధ్యాలను గుర్తించిన గణపతి మాస్టర్ వద్ద అనేక విషయాలను విషయాలను తెలుసుకొన్నాడు. ఆయన ప్రేరణతో కాప్రెకర్ సంఖ్యలు, వాటి విచిత్ర లక్షణాల ఆలోచనలతో పరిశోధనలను చేసేవాడు. బీఎస్సీ చదువుతున్నప్పుడు ధీయరీ ఆఫ్ ఎన్వలప్స్ ఆర్.పి. పరంజ పై రాసిన పుస్తకాన్ని బహుమతిగా పొందాడు. దేవలాలిలో పాఠశాల ఉపాధ్యాయుడిగా చేరి అనేక వ్యాసాలు వ్రాశాడు.

జనరేటర్ నంబర్లు వంటి వాణి గురించి ప్రపంచ వ్యాప్తంగ జగద్విడితమైనాయి. కానీ భారత ప్రభుత్వంచే  కాప్రేకర్ సరైన గుర్తింపు లభించ లేదు. కాప్రెకర్ కు ప్రభుత్వం నుండి సహాయం లభించకపోయినపటికి  సంఖ్యా ప్రపంచపు అద్భుత లీలా విన్యాసాలను ప్రదర్శించి ప్రపంచ గుర్తింపు పొంది చనిపోయే వరకు ఉపాధ్యాయుడిగానే గడిపాడు.

కాప్రేకర్ పరిశోధనలోని కొన్ని అంశాలు

కాప్రేకర్ స్థిరాంకం

1949లో కాప్రేకర్ 4 అంకెల సంఖ్యలలో ఒక ప్రత్యేక ధర్మాన్ని కనుగొని '6174'ను కాప్రేకర్ స్థిరాంకంగా గుర్తింపుపొందాడు.

ఏదైనా వేర్వేరు నాలుగు అంకెల సంఖ్యను తీసుకొని దానిని ఆరోహణ అవరోహణ క్రమంలో వ్రాసి వాటి వ్యత్యాసాన్ని మరలా ఇదే విధంగా వ్రాసినట్లయితే 8 సోపానాల లోపే '6174 వస్తుందని నిరూపించాడు.

ఉదా: తీసుకొన్న సంఖ్య: 3426

మొదటి సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 6432 Repeat!

ఆరోహణ క్రమం: 2346

వీటి బేధం: 4086

రెండవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 8640

ఆరోహణ క్రమం : 0468

వీటి బేధం: 7172

మూడవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం:7721

ఆరోహణ క్రమం: 1277

వీటి బేధం: 6444

నాల్గవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 6444

ఆరోహణ క్రమం: 4446

వీటి బేధం: 1998

ఐదవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 9981

ఆరోహణ క్రమం: 1899

వీటి బేధం: 8082

ఆరవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 8820

ఆరోహణ క్రమం: 0288

వీటి బేధం: 8532

ఏడవ సోపానం

అవరోహణ క్రమం: 8532

ఆరోహణ క్రమం: 2358

వీటి బేధం: 6174

ఇది కాప్రేకర్ స్థిరాంకం. దీనిలో అవరి క్రమం 7641, ఆరోహణ క్రమం 1467. ఈ స భేదం మరలా 6174.

ఇదేవిధంగా “3” అంకెల సంఖ్యలో  కూడా 495 అదే సంఖ్య వస్తుందని తెలిపారు.

కాప్రేకర్ సంఖ్యలు

ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్యను వర్గం చేసి ఫలితంను రెండు భాగాలుగా విడగొట్టి వీటి మొత్తం వర్గం చేసిన ఆ సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి. ఇలాంటి సంఖ్యలను కాప్రేకర్ సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 45²=2025                     20+25=45

55²=3025                            30+25=55

9²⁼81                                  8+1=9

99²=9801                            98+01=99

703²=494209                       494+209=703 2

2728²=7441984                    744+1984=2728

5292²=28005264                 28+005264=5292 857143²=734694122449        734694+122449=857143.

ఇవి చాలా ఆసక్తిగా ఉన్నది కదూ!

హర్షద సంఖ్యలు

ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ఆ సంఖ్యకు కారణాంకం అయితే అలాంటి సంఖ్యలను హర్షద సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 12 ఈ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 1+2=3

12కు 3 కారణాంకం. కాబట్టి 12 హర్షద సంఖ్య

18 = 1+8=9                   18కి 9 కారణాంకం

48 = 4+8=12                 48కి 12 కారణాంకం

70 = 7+0=7                  70కి 7 కారణాంకం

దత్తాత్రేయ త్రీ-ఇన్-ఇన్ సంఖ్యలు

కహఒక సంఖ్యను వర్గం చేసిన దాని ఫలితంలో కూడా రెండు వర్గ సంఖ్యలు అనగా మొత్తం 3 వర్గ సంఖ్యలుంటాయి.

ఉదా: 7² = 49;                4=2², 9=3²

13 = 169;               16=4², 9=3²

19² = 361;              36=6², 1²=1

57² - 3249;            324=18², 9=3²

ఇలాంటి సంఖ్యలను దత్తాత్రేయ త్రీ-ఇన్-వన్ సంఖ్యలు అంటారు.

డెమో నంబర్స్

ప్రతి సంఖ్యను మూడు భాగాలుగా విభజించినప్పుడు ఎడమ భాగం, కుడి భాగాల మొత్తము ఆ సంఖ్యలోని మధ్య భాగమునకు సమానం.

ఉదా:

121 ఎడమ భాగం = 1

కుడి భాగం = 1

మధ్య భాగం = 2 = (1 + 1)

(ఎడమ భాగం+ కుడి భాగం)

462                      4+2 =6

238865                 23+65=88

డాంబివిలి (Dombivili) బొంబాయిల మధ్యల ప్రతి రోజు రైలులో ప్రయాణిస్తూ కాప్రీకర్ ఈ సంఖ్యల లక్షణాలను గురించి ఆలోచించాడు. ఆ ఊరి పేరుకు గుర్తుగా డెహ్లి సంఖ్యలని పేరు పెట్టాడు.

విజయ సంఖ్యలు

8³ = 8x8x8 = 512 = 5+1+2=8

18³ = 18x18x18 = 5832 = 5+8+3+2=18

మంకీ నంబర్స్

ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాత సంఖ్యలలో ఆ సంఖ్య ఉన్న అటువంటి సంఖ్యలను మంకి సంఖ్య అంటారు.

ఉదా:

49³ = 117649

32³ = 322551

83⁴ = 47458321

ఇలాంటి గణిత గమ్మత్తులను ఎన్నో వివరించిన కాప్రేకర్ ను స్ఫూర్తిగా తీసుకొని మనం కూడా గణితం మీద పట్టును పెంచుకుందాం.

రచన: హెచ్. అరుణ శివప్రసాద్