অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?

ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?

నాలుగు భుజాలు సమానంగా ఉండి ప్రతి కోణం (Angle) 900 ఉంటే దీనిని చతురస్రం అంటారని తెలుసు. చతురస్రంను ఇంగ్లీషులో Square అని అంటాము. ఇటీవల కాలంలో వినోద గణితంలో, పోటీ గణితంలో కూడా కొన్ని చతురస్రపు గళ్లు (Boxes) ఇచ్చి వాటిలో మొత్తం ఎన్ని చతురస్రాలు ఏర్పరచవచ్చని చాలా సందర్భాలలో అడగటాన్ని మనం చూస్తూవున్నాం. వాటిని ఎలా లెక్కించాలి అని ఇబ్బంది పడుతూ ఉంటాము. దీనిలో దాగి ఉన్న మర్మం ఏమిటి అని పరిశీలిస్తే, ఇంత సులభంగా లెక్కించవచ్చా అని ఆశ్చర్యపోతాము.

చతురస్ర పరిమాణంలో మొదట అడుగళ్లు (Boxes) వ్రాసి తర్వాత నిలువ గళ్ళ (Boxes) సంఖ్యను వ్రాసి వాటి మధ్య 'X' గుర్తు ఉంచుతాము. (గుర్తును 'బై' అని చదువుతాము). ఉదా:

dec12ఈ పటంలో రెండు అడ్డుగల్లు, 2 నిలువు గళ్లు ఉన్నాయి. కావున దీనిని 2X2 (టుబైటు) చతురస్రం అని భావించాలి. ఇప్పుడు చతురస్రాల సంఖ్యను లెక్కించుదాం.

1x1 చతురస్రం దీనిలో ఒకే ఒక చతురస్రం ఉంటుంది.

2x2 చతురస్రం. దీనిలో 4 చతురస్రాలు ఉన్నాయని మనం అనుకొంటాం. కాని ఇందులో మొత్తం 5 చతురస్రాలు ఉన్నాయి.

1 x 1 చతురస్రాలు = 4

2 x 2 చతురస్రాలు = 1

1 x 1 (ఒన్ బై ఒన్) చతురస్రాలు = 4

2 x 2 (టుబైటు) చతురస్రాలు = 1

మొత్తం చతురస్రాలు = 5

 

ఇదే విధంగా 3 x 3 చతురస్రంలో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో కనుగొందాం.

ఇందులో 3 x 3 (3బై3)లో 9 చతురస్రాలు కనిపిస్తున్నాయి. కాని ఇక్కడ 9 కంటే ఎక్కువ 3 అడ్డు గళ్లు చతురస్రాలు ఏర్పడుతున్నాయి. మీరు 10 చతురస్రాలు అనుకొంటున్నారా? కాని అంత కంటే ఎక్కువ చతురస్రాలు ఏర్పడుతున్నాయి.

dec133 x 3 చతురస్రంలోని గళ్లను వరుస సంఖ్యలలో సూచిద్దాం.

ప్రక్క పటంలో  1 x 1 చతురస్రాలు = 4

2 x 2 చతురస్రాలు = 4

3 x 3 చతురస్రం (ఇచ్చిన చతురస్రం) = 1

మొత్తం చతురస్రాలు = 14

 

4 x 4 చతురస్రంలో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో గమనిద్దాం.

dec14ఈ పటంలో 1 x 1 చతురస్రాలు = 16

2 x 2 చతురస్రాలు = 9

3 x 3 చతురస్రాలు = 4

4 x 4 ఇచ్చిన చతురస్రం = 1

మొత్తం చతురస్రాలు = 16 + 9 + 4 + 1 = 30

ఇలా ఎంత పెద్ద చతురస్రం ఇచ్చిననూ మనం లెక్కించవచ్చును.

ఇంకా సులభంగా లెక్కించాలంటే క్రింది విషయాలను గమనిద్దాం..

1 x 1 చతురస్రం నందు గల చతురస్రాల సంఖ్య = 1 = 12

2 x 2 చతురస్రం నందు గల చతురస్రాల సంఖ్య = 5 = 22+12

3 x 3 చతురస్రం నందు గల చతురస్రాల సంఖ్య = 14 = 32+22+12

4 x 4 చతురస్రం నందు గల చతురస్రాల సంఖ్య = 30 = 42+32+22+12

ఈ విధానాన్ని అనుసరించి పెద్ద చతురస్రాలలో సైతం ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో చెప్పవచ్చు. ఇదే విధంగా 5 x 5 చతురస్రంలో ఇమిడి ఉన్న చతురస్రాల సంఖ్య

= 52+42+32+22+12

= 25+16+9+4+1 = 55

అనగా మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం అని భావించాలి. మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తంనకు సూత్రం

n(n+1)(2n+1)/6

దీని ద్వారా కూడా చతురస్రాలు లెక్కించవచ్చు.

ఉదాహరణకు 4 x 4 చతురస్రం నందు ఇమిడి ఉన్న చతురస్రాల సంఖ్య కనుక్కోవాలంటే పై  సూత్రంలో n = 4ను ప్రతిక్షేపించాలి. అప్పుడు

4(4+1) (2x4+1)/6

4X5X9/6 = 30 చతురస్రాలు

10 x 10 చతురస్రంలో ఇమిడి ఉన్న చతురస్రాల సంఖ్య

10x(10+1) (2x10+1)/6

= 10X11X21/6 = 385

ఈ సూత్రం ద్వారా ఎంత పెద్ద చతురస్రమైననూ దానిలో ఉన్న చతురస్రాలను లెక్కించవచ్చును. ఇప్పుడు మీరు అడ్డు వరుసల సంఖ్య, నిలువ వరుసల సంఖ్య సమానంగా లేని గళ్ళ నందు ఎన్ని చతురస్రాలు ఉ న్నాయో లెక్కించే ప్రయత్నం చేయండి. అంటే 3x2 గళ్లలో గల చతురస్రాలు, 4x3 గళ్లలో గల చతురస్రాలను లెక్కించడం అన్నమాట.

ఆధారం: హెచ్. అరుణ శివప్రసాద్



© 2006–2019 C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate