অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

భాజనీయాతా సూత్రాల లోగుట్టు

భాజనీయాతా సూత్రాల లోగుట్టు

dec3చిన్నూ, మిన్నూలు ఇద్దరూ మంచి స్నేహితులు. ఒకే స్కూల్లో ఆరో తరగతి చదువుతున్నారు. ప్రతిరోజూ స్కూలుకు కలిసే వెళతారు. ఏ రోజు హోంవర్క్ ఆ రోజే పూర్తి చేసుకుంటారు. ఒక రోజు మేధ్స్ హోంవర్క్ చేస్తున్నప్పుడు భాజనీయతా సూత్రాల గురించి ఒక సందేహం వచ్చింది. అదేమిటంటే.

2 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, లేదా 8 ఉంటే అది 2చే నిశేషంగా భాగించబడుతుంది.

3 భాజనీయతా సూత్రం: ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడితే ఆ సంఖ్య కూడా 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

మిన్నూ సందేహమేమిటంటే ఒక సంఖ్య 2చే నిశ్శేషంగా భాగించబడేది లేనిదీ దాని ఒకట్ల స్థానంతో తేలిపోతుంది. కానీ 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడేది లేనిదీ తెలుసుకోవాలంటే సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం కూడి తెల్సుకోవాలి. అదే 4 భాజనీయతా సూత్రం అయితే మరో రకంగా ఉంటుంది. ఎందుకలా?

నిజమే.. చిన్నూకి కూడా జవాబు తెలీదు... ఇద్దరూ కలిసి వాళ్ల తాతయ్య దగ్గరికి పరుగెత్తారు. వాళ్ల తాతయ్య లెక్కల టీచరుగా పనిచేసి రిటైరయ్యారు. తాతయ్యలకు మనుమళ్లంటే చాలా ఇష్టం కదా! ఏ ప్రశ్నడిగినా విసుక్కోకుండా జవాబు చెబుతారు. అందుకే పిల్లలిద్దరూ వాళ్ల తాతయ్య దగ్గర తమ సందేహం వెలిబుచ్చారు.

“తాతయ్యా! 2 భాజనీయతా సూత్రం, 3 భాజనీయతా సూత్రం ఒకేలా ఎందుకు లేవు? ఒకదానితో భాగించబడాలంటే ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6 లేదా 8 ఉండాలి. మరో దానితో అయితే అంకెల మొత్తం భాగించబడాలి. ఎందుకలా వేరు వేరుగా ఉన్నాయి?” మిన్నూ అడిగింది..

“భలే ప్రశ్న అడిగారమ్మ!” అని ఇలా వివరించాడు.

“భాజనీయతా సూత్రాలు సంఖ్య యొక్క స్థాన విలువల ఆధారంగా వచ్చాయి. ఒక ఉదాహరణ తీసుకుని ముందు 2 భాజనీయతా సూత్రం సంగతి చూద్దాం.

11,111 దీనిని విస్తరణ రూపంలో రాద్దాం. 10,000 + 1000 + 100 + 10 + 1

ఇందులో ఒకట్ల స్థానం తప్ప మిగిలినవన్నీ 2తో భాగించబడతాయి. మరో ఉదాహరణ చూడండి.

3,57,197 = 3,00,000 + 50,000 + 7,000 + 100 + 90 + 7

ఇందులో కూడా ఒకట్ల స్థానం తప్ప మిగిలినవన్నీ 2తో భాగించబడతాయి.

అంటే పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్ష.... స్థానాలల్లో ఏ అంకెనూన్నా వాటి స్ధాన విలువ ప్రకారం చూస్తే అవి 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె కూడా 2ఇచే భాగించబడితే ఆ సంఖ్య 2చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుందని చెప్పవచ్చు. ఒకవేళ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2చే నిశ్శేషంగా భాగించబడకపోతే మిగిలిన స్థాన విలువలన్నీ 2చే నిశ్శేషంగా భాగించబడినా ఆ సంఖ్య మాత్రం 2చే నిశ్శేషంగా భాగించబడదు.

“ఓహో, అలాగా, అయినా పదుల స్థాన విలువ 2చే భాగించబడిందంటే, వందలు, వేలు... అన్నీ పది గుణిజాలే కాబట్టి అవీ భాగించబడతాయి కదా. “చిన్నూ ఉత్సాహంగా బదులిచ్చింది.

“కరెక్టే... మరి 3 సంగతో?” మిన్నూ అడిగింది.

“ఆ... ఆ.. అక్కడికే వస్తున్నా! మళ్లీ మొదటి ఉదాహరణే తీసుకుందాం.

11,111 దీనిని విస్తరణ రూపంలో రాద్దాం. 10,000 + 1000 + 100 + 10 + 1

విస్తరణలోని ప్రతీ విలువనూ 3చే భాగించి చూద్దాం.

10000ని 3 భాగిస్తే శేషం 1

1000ని 3చే భాగిస్తే శేషం 1

100ని 3చే భాగిస్తే శేషం 1

100ని 3చే భాగిస్తే శేషం 1

ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంది. అన్ని శేషాలూ కలిపితే 1+1+1+1+1 = 5

ఈ 5ను 3 చే భాగిస్తే శేషం మిగులుతోంది. అంటే మొత్తం సంఖ్య 3చే భాగించబడదన్నమాట.

సులభంగా అర్థం కావడానికి మరో ఉదాహరణ పరిశీలిద్దాం. 22,224 = 20,000 + 2000 + 200 + 20 + 4 విస్తరణలోని ప్రతీ విలువనూ 3చే భాగించి చూద్దాం.

20,000ని 3చే భాగిస్తే శేషం 2,

2000ని 3చే భాగిస్తే శేషం 2,

200ని 3చే భాగిస్తే శేషం 2,

20ని 3చే భాగిస్తే శేషం 2,

ఒకట్ల స్థానంలో 4 ఉంది. ఇవి అన్నీ కలిపితే 2+2+2+2+4=12

ఈ 12, 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అంటే మొత్తం సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుంది అంటే పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్ష... స్థానాలలో ఏ అంకె ఉంటే అంత శేషం మిగులుతుందన్న మాట. అందుకే 3చే భాగించబడేదీ లేనిదీ తెలుసుకోవడానికి సంఖ్యలోని అంకెలను కూడితే సరిపోతుంది”.

“సంఖ్యలోని స్థానాలలో 3, 4, 5,... లాంటి అంకెలుంటే స్థానవిలువలను 3చే భాగిస్తే శేషాలు 0, 1, 2 వస్తాయి గానీ 3, 4, 5 ఎలా వస్తాయి తాతయ్యా?" చిన్నూ అడిగింది.

“గుడ్, నీ వన్నది కరెక్టే. కానీ సౌలభ్యం కోసం ఏ. ఎంకె ఉంటే అదే శేషంగా తీసుకుంటే ఆ సంఖ్య 3చే చాగించబదేదీ లేనిదీ సులభంగా చెప్పవచ్చు. ఇంకో ఉదాహరణ చూడండి.

46,789 = 40000+6000+700+80+9

నిజానికి పై స్థాన విలువలను 3చే భాగిస్తే శేషాలు 1+0+1+2+0 వస్తాయి, కానీ ఇలా భాగించి చూసుకోవడం కంటే పూర్తి భాగహారం చేయడమే సులభం, అలాంటప్పుడు భాజనీయతా సూత్రాల అవసరమే లేదు. అందుకే 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడేదీ లేనిదీ సులభంగా తెలుసుకోవడానికి సంక్షిప్తంగా అంకెల మొత్తం (4+6+7+8+9=34) కనుగొంటాం. ఇక్కడ 34 అనేది 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడదు, కాబట్టి తీసుకున్న సంఖ్య కూడా 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడదు.

“అంటే 2లాగా 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుందో లేదో అనేది ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెతో నిర్ణయించలేమన్నమాట” మిన్నూ నిర్ధారించింది.

“అవును, ఒకవేళ అదే కరక్టయితే 13, 16, 19, 23, 26... వంటి సంఖ్యలన్నీ 3చే భాగించబడాలి. కానీ ఇవేవీ 3చే నిశ్శేషంగా భాగించబడవు”.

“మరి 4 భాజనీయతా సూత్రం సంగతేంటి తాతయ్యా?” చిన్నూ అడిగింది.

“అదీ ఇలాగేనమ్మా! వందలస్థానం నుండి ఎడమవైపు ఉన్న అన్ని స్థానాల్లో ఏ అంకె ఉన్నా 4చే నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి. అందుకే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లోని అంకెలతో ఉన్న సంఖ్య (చివరి రెండంకెల సంఖ్య) 4చే నిశ్శేషంగా భాగించబడితే, ఆ సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అలాగే మిగిలిన భాజనీయతా సూత్రాలను కూడా అర్థం చేసుకోవచ్చు”.

“ఓహో, అందుకా వేరు వేరు సంఖ్యల భాజనీయతా సూత్రాలు వేరు వేరుగా ఉన్నాయి” అని మనస్సులో అనుకుంటూ మళ్లీ హోంవర్క్ పూర్తి చేయడానికి వెళ్లారు.

ఆధారం: బాడిశ హన్మంతరావు గణితోపాధ్యాయులు.



© 2006–2019 C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate