অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

వింత చదరాలు

వింత చదరాలు

చదరాలంటే మీకు తెలిసే ఉంటుంది. పొడవు, వెడల్పులు సమానం ఉన్న బహుభుజికిని చతురస్రం లేదా చదరం అంటారు. వీటిని గళ్ళలాగా గీసినప్పుడు అడ్డువరుసలోని గళ్ళ సంఖ్య, నిలువు వరుసలోని గళ్ళ సంఖ్యకు సమానం. ఇలాంటి చదరాలలోని గళ్ళలో వేరు వేరు సంఖ్యలను లేదా అంకెలను నింపి అనేక తమాషాలు చేయవచ్చు. అందులో ఒకదాన్ని గురించి మనం తెలుసుకుందాం. అదే వింత చదరము (Magic Square)

చదరంలోని గళ్ళలో వున్న అంకెలను నిలువు వరుసలో కూడినా, అడ్డువరుసలో కూడినా, కర్ణము వెంబడి కూడినా ఫలితం (మొత్తం) ఒకే విధంగా ఉంటే, దానిని వింత చదరం అంటాము.

3X3 చదరాన్ని తీసుకొందాం. దీనిలో 9 గళ్ళు ఉంటాయి. 1 నుంచి 9 వరకున్న అంకెలను ఈ గళ్ళలో ప్రత్యేకమైన పద్ధతితో నింపి క్రింది చదరాన్ని తయారుచేశాం. దానిలోని అడ్డు వరుసలో ఉన్న అంకెల మొత్తం 15. నిలువు వరుసలో ఉన్న అంకెల మొత్తం 15. కర్ణం వెంబడి వున్న అంకెల మొత్తం 15. కాబట్టి ఇది వింత చదరం.

ఈ వింత చదరాన్ని పరిశీలిస్తే మనకు కొన్ని విషయాలు తెలుస్తాయి. అవి.

  1. vc1చదరములోని మధ్య గడిలో వున్న అంకె 5 అనేది ఇందులోని కనిష్ట సంఖ్య (1), గరిష్ట సంఖ్య (9) ల సరాసరికి సమానం. మొత్తం మధ్య సంఖ్యకు మూడు రెట్లుగా ఉంటుంది.
  2. ఈ చదరంలోని మధ్య గళ్ళలో బేసిసంఖ్యలు, మూలం వద్ద సరి సంఖ్యలున్నాయి.
  3. ఈ చదరంలోని ప్రతి గడిలో వున్న సంఖ్యకు ఏదైన ఒక సంఖ్య కలిపితే వచ్చేది కూడా వింత చదరమే. ఎలాగో చూద్దాం.

 

 

vc2పక్క చదరంలోని ప్రతి గడిలోని సంఖ్యకు 2ను కలుపుదాం.

ఈ చదరంలోని అడ్డువరుసలోని అంకెల మొత్తం, నిలువు వరుసలోని అంకెల మొత్తం, కర్ణం వెంబడున్న అంకెల మొత్తం 21 అవుతుంది. కాబట్టి ఇది కూడా వింతచదరమే. ఇలాంటివి మరికొన్నింటిని మీరు తయారుచేయండి. "

 

 

vc3అసలు వింత చదరాన్ని ఎలా తయారుచేయవచ్చో తెలుసుకుందాం. చదరంలోని మధ్య గడిలోని సంఖ్యను 'X' అనుకొని, దాని చుట్టూ వున్న గడులలోని అంకెలను 'X' రూపంలో రాద్దాం. ఉదాహరణకు పైన వున్న చదరాన్ని పరిశీలిస్తే '7'ను 'X' అనుకుంటే దాని చుట్టూ వున్న అంకెలను క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు.

ఇప్పుడు పై ఫార్ములాతో 29 మొత్తంగా గల వింతచదరాన్ని తయారుచేద్దాం. 29లోని మూడవ వంతు అనగా '9' (x) ఈ చదరానికి మధ్య గడిలో వుంటుంది.

 

 

vc4మరికొన్ని వింత చదరాలను మీరు తయారు చేయండి

 

 

శ్రీనివాస రామానుజన్ గొప్ప గణిత శాస్త్రవేత్త అని మీకు తెలుసు. వింత చదరాన్ని తయారు చేయడానికి రామానుజన్ మరొక పద్దతిని సూచించాడు. (A,B,C), (P,Q,R)లు ఏవైనా రెండు అంకశ్రేణులు. వీటితో ఏర్పడే వింత చదరాన్ని ఎలా తయారు చేశాడో చూద్దాం. 1 నుండి 9 వరకు గల సంఖ్యలను అంక శ్రేణిలో వుండే విధంగా చదరంలో అమర్చాడు.vc5

వింత చదరరం ఏర్పడింది.

 

 

గమనిక: వింత చదరం సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది. దీనిలోని అడ్డు వరుసలను, నిలువు వరుసలను తారుమారు చేసినా కూడా వింత చదరాలే వస్తాయి.

vc6

పిల్లలు, మీరు ఎంత వింత చదరాలు (Magic Squares) గూర్చి విని ఉంటారు. మీరు కొన్ని Magic Squares చేసి ఉంటారు కదా.

ఈ Magic Squares క్రీ.పూ. 2000 సం. ల క్రితం చైనాలో మొట్టమొదటి సారిగా ఉపయోగించారు. కానీ అప్పుడు వారు తయారుచేసినవి అంకెలను ఉపయోగించి కాదు. వారు కొన్ని గుర్తుల ద్వారా అక్షరాల ద్వారా చదరాలను తయారుచేసేవారు.

ఉదా. కు తెలుగులో...

may10పై పట్టికలలో రదాలను అడ్డువరుసలలో చదివినా, నిలువు వరుసలో చదివినా పదాలలో మార్పులేదు. ఇదే విధంగా ఇంగ్లీషు పదాలతో కింది పట్టికను పరిశీలించండి.

ఈ పట్టికలో కూడా అడ్డు వరుసలోని పదాల నిలువు వరుసలోని పదాలు ఒకట్టే ఇలా రాయడం తమాషాగా ఉంది కదూ. మీరు ఇలాంటివి మరికొన్ని తయారు చేయండి.

Magic Squares లు 3 రాకలుగా చెప్పవచ్చును

  1. Regular Magic Squares: 1 నుండి n2 వరకు MS (3x3) చతురస్రం అంటే 1 నుండి 9 వరకు, 4x4 చతురస్రం అంటే 1 నుండి 16 వరకు..... ఇలా వరుస సంఖ్యలను ఉపయోగించి Magic Squares ను తయారుచేయడం.
  2. Partly Regular Magic Squares: 1 నుండి కాకుండా ఏదైనా ఒక సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి ఆ సంఖ్య నుండి వరుసగా n2 సంఖ్యలను ఉపయోగించడం.
  3. Irregular Magic Squares: వరుస సంఖ్యలు కాకుండా ఏవేని n2 సంఖ్యలను ఉపయోగించడం.

may11తర్వాత కాలంలో నంఖ్యలను చతురస్రాకారంలో అమర్చి వాటినందు ప్రతి అడ్డువరుస, నిలువు వరుసలలోని మొత్తం ఒకే స్థిరసంఖ్య వచ్చే విధంగా రాయడాన్ని వింత చదరాలు (Magic Squares) అంటారు.

ఈ విధంగా వింత చదరాలు వేరు వేరు సంఖ్యలతో రాయడానికి కనీస చదరం (3x3) గా ఉండాలి. ఇప్పుడు 3X3 Magic Squares ను నిర్మించడం ఎలాగో నేర్చుకొందామా?

Regular 3X3 MS ను నిర్మించాలంటే 1 నుండి 9 వరకు గల సంఖ్యలను ఉపయోగించి వాటి మొత్తం ఒక్కటే అయ్యే విధంగా సంఖ్యలను 3X3 చతురస్రంలో అమర్చాలి. మొట్టమొదట 1 నుండి 9 వరకు అంకెలను క్రింది విధంగా రాయండి.

తర్వాత వీటిని కర్ణాలుగా క్రింది విధంగా విభజించండి.

ఇప్పుడు వ రోవైపు కూడా ఇలాగే కర్ణాలుగా విభజంచండి.

ఈ అమరికను గమనిస్తే 1, 8, 9, 7 లు చతురస్రానికి వెలుపల ఉన్నవి లోపల 3X3 పట్టిక ఏర్పడినది. ఈ పట్టికలో నాలుగు గడులు ఖాళీగా ఉన్నవి. వీటిని 3x3 చదరంగా భావించిన పై విధంగా ఉంటుంది. రెండవ నిలువు వరుసలో పైన 1 క్రింద 9 ఉన్నాయి. వీటిని తారుమారు చేసి వ్రాయవలెను.

ఇప్పుడు రెండవ అడ్డు వరుసలో ఎడమవైపు 7, కుడివైపు 3 ఉన్నవి వీటిని ప్రక్కనున్న పెట్టె (Box) లలో కాకుండా గడులను మార్చి రాయండి.

ఈ పట్టికలో మొదటి అడ్డు వరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 4+9+2 =15 రెండవ అడ్డువరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 3+5+7 = 15, మూడవ అడ్డువరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 8+1+6=15, ఇదే విధంగా మొదటి నిలువు వరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 4+3+8=15, రెండవ నిలువు వరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 9+5+1 =15, మూడవ నిలువ వరుసలోని సంఖ్యల మొత్తం 2+7+6 =15, అదే విధంగా కర్ణాలు 4+5+6 = 2+5+8 =15, ఇలా మొత్తం '8' విధాలుగా ఎటు కూడినా 15 వస్తుంది.

ఈ చతురస్రాలల్లో మూలలు (Corners) సంఖ్యలే. రెండవ వరుసలో బేసి సంఖ్యలు 3,5. అదే విధంగా మిగిలిన రెండు బేసి సంఖ్యలు రెండవ నిలువు వరుసలో ఉన్నది. పై MS నందు మొదటి అడు చుసను 3 వ అడ్డువరుస గాను 3 వ అడ్డువరుసను ఉదటి అడ్డువరుసగా మార్చినా MS నందు మార్పు ఉండదు.

ఈ MS నందు గల సంఖ్యలను (Rows) సవ్యదిశలో 90° త్రిపిన (By Rotation 90° Clockwise) (మొదటి అడ్డు వరుసకి నిలువు వరుసగా, రెండవ అడ్డువరుస, రెండవ నిలువు వరుసగా, 3 వ అడ్డువరుస మొదటి నిలువు వరుసగా మార్చడం)

ఈ విధంగా వచ్చిన MS నకు Mirror Reflection అవుతుంది. ఇది మునుపటి MS అగును

MS­3 - Partly Regular:

ఏదైనా ఒక సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి ఆ సంఖ్య నుండి వరుసగా 9 సంఖ్యలతో చతురస్రాన్ని నిర్మించడం. నాకు 16 నుండి ప్రారంభించిన 24 వరకు గల సంఖ్యలతో చతురస్రాన్ని నిర్మించడం.

ఈ చతురస్రం (MS) నందు Rows (or) Columns మొత్తం (16+24/2)x3 = (40/2)x3 = 60 అవుతుంది. ఈ , MS ను కూడా ముందు పద్దతిలాగే విరించుదాం. 16 నుండి 24 వరకు గల సంఖ్యలను 3X3 చతురస్రాకారంలో సంఖ్యలను వరుసగా వ్రాయండి.

వీటిని కర్ణాలుగా విడగొడుతాం.

మరలా కుడివైపు కర్ణాలుగా విడగొడుతాం.

రెండవ అడ్డువరుసలోని 22, 18 లనూ, రెండవ నిలువు వరుసలోని 16, 24 లను ప్రక్కనున్న గడిలో కాకుండా తారుమారు చేసి రాసిన ఈ MS నందు ప్రతి వరుసలోని అంకెల మొత్తం 60' అవుతుంది. ఇలాంటి Magic Squares (MS) ను మీరు మరి కొన్ని తయారు చేసి వాటిని ఎన్ని రకాలుగా రాసిన వాటి మొత్తం సమానంగా వస్తుందో గమనించండి.

jun15Magic Squares '3' రకాలనీ వాటిలో Regular Magic Squares, ను ఎలా తయారు చేయవచ్చో తెలుసుకొన్నాము. ఇప్పుడు Partly Regular గురించి కొన్ని విషయాలు తెలుసుకొందాం.

3X3 వింత చదరాలనందు వచ్చు Partly Regular Magic Squares వరుసల మొత్తం 3 చే భాగింపబడే విధంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు ఒక Regular Magic Squares ను తీసుకొంటే ఈ Magic Squares నందు మూలలు (Corners) 1 నుండి 9 వరకు గల సంఖ్యలతో గల గరిష్ట సరిసంఖ్యను మొదటి Corner లో తర్వాత వాటికంటే తక్కువైన సరిసంఖ్యలను మిగిలిన Corners లో వేద్దాం.

తర్వాత 1 నుండి గల బేసి సంఖ్యలను మొదటి వరుస నుండి గల ఖాళీలలో వరుసగా రాసిన అది Regular Regular Magic Squares అవుతుందని గమనించండి. వీటి మొత్తం 15. ఇది 3 చే భాగింపబడుతుంది. ఈ Magic Squares నందు గల ప్రతి సంఖ్యకు 1 ని కలిపి ఈ Magic Squares 2 నుండి 10 వరకు గల సంఖ్యలతో నింపుదాము.

2 నుండి 10 వరకు గల సంఖ్యలు అంటే 2, 10 లు సరి సంఖ్యలు. 10 కంటే తక్కువైన బేసి సంఖ్యలు 4 Corners (మూలల్లో) వచ్చాయి. తర్వాత గల ఖాళీలలో సరిసంఖ్యలను వరుసగా నింపడమైనది. ఇక్కడ Rows/Columns మొత్తం '18' ఇది 8 చే భాగింపబడుతుంది.

jun16ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకొని Partly Regular Magic Squares తయారుచేయవచ్చు.

ఉదా. 35 నుండి 43 వరకు గల సంఖ్యలతో Magic Squares ను తయారుచేయాలనుకొందాం. 35, 43 లు బేసి సంఖ్యలు. కావున 43 కంటే తక్కువైన సరిసంఖ్యలను 4 Corners లో నింపుతాం:

35 నుండి 48 వరకు గల బేసి సంఖ్యలను మొదటి వరుస నుండి వరుసగా నింపిన Magic Squares వచ్చును. ఇప్పుడు Magic Squares ను పూర్తి చేయాలంటే పై రెండు పట్టికలను కలపడమే. ఈ Magic Squares నందు ప్రతి వరసలో మొత్తంగా 117 వస్తుంది. ఇది 8 చే భాగింపబడుతుంది.

ఈ విధంగా ఏదైనా వరుస 9 సంఖ్యలచే మనము Magic Squares ను పూర్తి చేయవచ్చును. ఈ 3x3 Magic Squares ను నింపడము భలే తమాషాగా ఉంది కదూ! వేసవి సెలవుల్లో మీరు ఇలాంటివి బోలెడన్ని తయారుచేయవచ్చు. ఇప్పుడు గడులు నింపకుండా Magic Squares నందుగల Rows/ Column ల మొత్తం ఎలాగో కనుగొందామా?

ఇప్పుడు Magic Squares నందు 1 నుండి 9 వరకు గల అంకెలను ఉపయోగించిన Rows/Column లో వచ్చు మొత్తం . (1+9/2)X =10/2X8 = 5X3 =15

ఈ మొత్తంను Magic Square Constant అంటాము. ఇకపై ఈ Constant ను 'K' అను అక్షరంతో సూచిద్దాము

K= (మొదటి సంఖ్య+చివరి సంఖ్య 2)X3

మరో ఉదా: 16 నుండి 24 వరకు గల సంఖ్యల Magic Square నందు నింపుదాం.

K= (16+242)X8 = 40/2X8 = 20X3 = 60

ఇప్పుడు 16 నుండి 24 వరకు గల సంఖ్యలతో K=60 అగునట్లు Magic Square ను నింపి సరిచూద్దాం

jun17సరిపోయినదిగా! చూశారా Magic Square యొక్క గమ్మత్తు! ఇప్పుడు 'K' విలువ ఇచ్చిన Magic Square ను పూరించాలి. అది ఎలాగో పరిశీలిద్దామా! Magic Square నందు Rows/Columns మొత్తం 'K' ఇచ్చిన ఆ Magic Square నందు ఏ ఏ సంఖ్యలు ఉ పయోగిస్తామో తెలుసుకొందాం.

ఉదా. Magic Square నందు K=60 అయిన ఆ Magic Square నందు మొదటి సంఖ్య (60/3-4) అగును. అంటే 16 అవుతుంది. గరిష్ట సంఖ్య 16+8 = 24. K=60 కావలయునన్న ఈ Magic Square నందు 16 నుండి 24 వరకు గల సంఖ్యలను ఉ పయోగిస్తాము.

నియమము: K విలువ ఇచ్చిన Magic Square నందు ఉపయోగించే చిన్న సంఖ్యను తెలుసుకోవాలన్న Magic Square ను 8 చే భాగించి వచ్చే భాగఫలం నుండి 4 ను తీసివేయగా వచ్చిన సంఖ్య Magic Square నందు ఉపయోగించే చిన్నసంఖ్య. ఈ చిన్న సంఖ్యకు 8 కలిపిన ఆ Magic Square నందు ఉపయోగించే పెద్ద సంఖ్య అవుతుంది.

Magic Square నందు చిన్న సంఖ్య, పెద్ద సంఖ్యలు తెలిసిన ముందు మనం చర్చించినట్లు Magic Square ను తయారు చేయవచ్చును.

ఉదా. K=90 అగునట్లు Magic Square ను పూరించాలి. Magic Square నందు ఉపయోగించు చిన్న సంఖ్య = (90/8 -4) = 30-4 = 26

పెద్ద సంఖ్య =26+8 =34

ఇప్పుడు 26 నుండి 34 వరకు గల సంఖ్యలతో Magic Square ను పూరిద్దాం. 34 కంటే తక్కువైన బేసి సంఖ్యలను వరుసగా 4 Corners లో పూరించడం మిగిలిన గడులను '26' నుండి వచ్చే సరిసంఖ్యలను పూరించడం.

ఇలా 'K' విలువ ఇచ్చిన Magic Square ను తయారు చేయడానికి శ్రీనివాస రామానుజన్ ఒక నియమాన్ని ప్రతిపాదించారు.

Magic Square నందు Magic Constant ‘K' 3 చే భాగిస్తుందని ముందుగా తెలుసుకొన్నాం. K విలువ 15 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది అని గ్రహించాం.

రామానుజం సూత్రం

X+1              X+2             X-3

X-4              K/3 = X       X+4

X+3             X-2              X-1s

పై సూత్రం ద్వారా K విలువ ఇచ్చిన మనము Magic Square ను పూరించవచ్చును.

ఉదా. K=48 రావలయునన్న X=48/3 =16

X విలువను పై రామానుజన్ సూత్రం ద్వారా పూరించిన ఈ చతురస్రంలో అడ్డు వరుసలు, నిలువ వరుసలు, కర్ణాల మొత్తం 48 వస్తుంది. ఈ Magic Square ను మీ మిత్రులతో చర్చించండి. మీరు ఇలాంటి చతురస్రాలను (Magic Square) మరిన్ని తయారు చేయండి.

ఆధారం: ఎమ్.ఎస్. రంగాచారి.



© 2006–2019 C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate