లెక్కలతో వచ్చిన చిక్కులు

“పిల్లలు అంకగణితాన్ని సాంప్రదాయక పద్ధతులతో కన్నా దొడ్డిదోవన అయితే బాగా నేర్చుకుంటారని నాకో నమ్మకం.”

నా మేనకోడలికి నాలుగేళ్ల వయసులో తన అక్కలు, అన్నలు కలిసి అంకెలు నేర్పించారు. “ఒకటి, రెండు, మూడు...” అంటూ బిగ్గరగా బయటికి అనమని నేర్పించారు. వాళ్లు నేర్పించినట్టే “ఒకటి, రెండు, మూడు...” అంటూ అరుస్తూ ఉండేది. అలాగే అరుస్తూ ఓ సారి, “ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు, ఐదు, ఆరు, ఎనిమిది...” అనేసింది పొరబాట్న. అప్పటికే అంకెల్లో పండిపోయిన తన సోదరసోదరీమణులు అందరూ “ఛీ!ఛీ! అదేంటే? ఆరు తరువాత ఎనిమిది కాదు, ఏడు!” అంటూ చీవాట్లు పెట్టారు.

ఇలాంటి సన్నివేశాలు చూస్తుంటే అనిపిస్తుంది. పిల్లలకి అంకెలు ఇలా నేర్పిస్తే అంకెల గురించి వాళ్లకి ఓ చిత్రమైన ఊహ ఏర్పడుతుంది. పిల్లలకి అంకెలు అనేవి ఓ వరుస క్రమంలో వచ్చే, అర్థం లేని పేర్లు గల వింత జంతువుల్లా అనిపిస్తాయేమో. అలా వచ్చి వాళ్ల నెత్తిన కూర్చున్న ఈ అంకెల జింకలు గుంపులు గుంపులుగా కలుస్తూ, మళ్లీ విడిపోతూ మనో వనసీమలో కల్లోలం సృష్టిస్తాయి. అంకెలు చేసే ఈ రాసలీలలనే పెద్దాళ్లు “రెండు రెళ్లు నాలుగు, రెండు మూళ్ల ఆరు,” వంటి జిగిబిగి కవితలతో వర్ణిస్తుంటారు. అంకెలని ఆ విధంగా అర్థం చేసుకునే (లేదా అర్థం చేసుకోలేని పిల్లలకి అంకెలతో పెద్ద చిక్కే వచ్చి పడుతుంది. నా మేనకోడలి విషయంలో కూడా సరిగ్గా నేను ఊహించినట్టే జరిగింది. కొన్నేళ్ల తరువాత ఓ సారి, అంకగణితంలో చిన్నప్పుడు పెద్ద పెద్ద సున్నాలు చుట్టిన పెద్దమనుషులని కొందర్ని పట్టుకుని అడిగాను, అంకెలతో చిన్నప్పుడు వాళ్ల అనుభవం నేను అనుకుంటున్నట్టే ఉండేదా అని. కొంచెం సిగ్గుపడి నవ్వేసి అవునని ఒప్పుకున్నారు. సరిగ్గా ఈ కారణం చేతనే అంకెల విషయం ఎప్పుడూ వాళ్లకి కొంచెం ఇబ్బంది గానే ఉండేది అన్నారు.

అందుకే నాకు ఎప్పుడూ అనిపిస్తుంది. పిల్లలకి వాస్తవ వస్తువుల ఆలంబన లేకుండా కేవలం అమూర్త భావనలుగా అంకెలు నేర్పడం తప్పని. పిల్లలకి “ఒకటి, రెండు, మూడు...” అని బట్టీ పట్టించడం ఒకటో క్లాసు టీచర్లకి చాతకాదని కాదు. అయితే అలా వేదంలా అంకెల పేర్లు వల్లెవేయడం, అంకెలంటే ఏంటో అర్థం చేసుకోవడం - ఈ రెండూ ఒకటి కాదు.

పిల్లలకి అంకెలని నామవాచకాలుగా నేర్పించకూడదు. విశేషణాలుగా నేర్పించాలి. అంటే, “ఒకటి, రెండు...” అనేవి మరోదానితో సంబంధం లేని ప్రత్యేక పదాలుగా కాక, ఒక వస్తు సముదాయం యొక్క ఒక ప్రత్యేక లక్షణాన్ని సూచించే పదాలుగా నేర్పించాలి. ఉదాహరణకి “ఒక ఇల్లు, రెండు జడలు, మూడు ముక్కలు...” అంకెలతో ఇలాంటి సావాసానికి అలవాటు పడ్డ చాలా చాలా కాలం తరువాతే పిల్లలకి మూడు వస్తువుల సముదాయాలు అన్నిటికి మూడు అనేది ఓ సమాన లక్షణం అన్న అమూర్తభావన మెల్లగా మనసులోకి ఇంకుతుంది.

అలాగే అంకెలని వరుస క్రమంలో నేర్పించడం కూడా అంత మంచి పద్దతి కాదని నా అభిప్రాయం. ఉదాహరణకి పిల్లలకి మూడు వస్తువుల సముదాయం చూపించి, వెంటనే ఏడు వస్తువుల సముదాయం చూబించాలి. ఎందుకంటే ప్రకృతిలో అంకెలు వరుస క్రమంలో కనిపించవు. పిల్లలు కూడా ఆ సత్యాన్ని గుర్తించి అర్థం చేసుకోవాలి.

ప్రథమ దశలో కొంత కాలం అంకెల్ని దృశ్య రూపంలో వస్తువుల విన్యాసాలుగా పిల్లలు అలవాటు పడితే బావుంటుంది. ముఖ్యంగా చిన్న అంకెల (పది కన్నా తక్కువవి) విషయంలో ఇది సాధ్యం అవుతుంది. ఉదాహరణకి మూడు అంకెని మూడు చుక్కల విన్యాసంగా ప్రదర్శించవచ్చు. ఆ మూడు చుక్కలు ఒకే వరుసలో గాని, త్రికోణపు కొసలుగా గాని ఉండొచ్చు. అలాగే నాలుగుని ఒకే వరుసలో ఉన్న నాలుగు చుక్కలుగానో, చదరపు కొసలగానో ప్రదర్శించవచ్చు. అలాగే ఐదుని పంచభుజి లాగానో, ఒక చదరానికి పైన ఒక చుక్క లాగానో (ఇది చూడటానికి ఒక ఇల్లులా ఉంటుంది), లేదా ఒక చదరానికి మధ్య మరో చుక్క లాగానో ప్రదర్శించవచ్చు. కావాలంటే ఇలా చుక్కలతో అంకెల బొమ్మల్ని చిన్ని పేకముక్కల మీద ముద్రించి పిల్లల కిస్తే వాటితో రకరకరకాలుగా ఆడుకుంటారు. చుక్కల బొమ్మని అంకెతో జత చేయడం మొదలైన ఆటలు ఆడుకోవచ్చు. అలాగని పిల్లలని బలవంతం చేసి ఇలాంటి ఆటలు నేర్పాలని నేను సూచించడం లేదు. అంతకన్నా పొరబాటు మరొకటి ఉండదు. వరస పట్టి అంకెలని వల్లె వేయడం ఒక్కటే కాకుండా మరెన్నో విధాలుగా కూడా పిల్లలకి అంకెలతో సాన్నిహిత్యం కలిగితే బావుంటుందని మాత్రమే నేను అంటున్నాను.

ఇలా ముందుకి సాగుతూ క్రమసంఖ్యల గురించి నేర్పించవచ్చు. ఇవి ఒక వస్తు సముదాయం యొక్క పరిమాణాన్ని కాక ఒక వరుసలో ఒక వస్తువు యొక్క స్థానాన్ని సూచించే పదాలు - మొదటిది, రెండోది, మూడవది మొదలైనవి. ఊరికే వరుసగా కొన్ని వస్తువులని చూబిస్తూ “ఇది మొదటిది, ఇది రెండవది...” ఇలా చెప్పుకుంటూ పోవచ్చు. క్రమసంఖ్య, మౌలిక సంఖ్య వంటి పదజాలాన్ని వాడనక్కర్లేదు. ఇలా సహజమైన సందర్భాల్లో పదాలని పరిచయం చేస్తూ పోతే పిల్లలు సులభంగా పట్టేస్తారు.

అలాగే వస్తువులని లెక్క పెట్టే టప్పుడు “ఒకటి, రెండు...” అంటూ ఒక్కటొక్కటిగా లెక్క పెట్టాలని రూలేం లేదు. “రెండు, నాలుగు, ఆరు…“ అనో, “మూడు, ఆరు, తొమ్మిది...” అనో కూడా లెక్క పెట్టొచ్చు. అలా లెక్క పెట్టడం ఎలాగో చూబోస్తే పిల్లలకి ఎక్కాలలోని సారాంశం కూడా అప్రయత్నంగా అర్థమవుతుంది.

కూడికలు - తీసివేతలు

ఒకటవ తరగతిలో పిల్లలకి సామాన్యంగా కూడికలు నేర్పడం జరుగుతుంది. టీచర్లు '2+3=5' వంటివి నేర్పిస్తుంటారు. కొంచెం ఉత్సాహవంతులైన టీచర్లయితే '2+3=5' ఎందుకవుతుందో కూడా చెబుతారు. రెండు పిల్లిపిల్లలున్న బొమ్మని (ఇలాంటి చిట్టిచిట్టి బొమ్మలైతే పిల్లలకి నచ్చుతాయని వాళ్ల నమ్మకం), మూడు పిల్లిపిల్లలున్న బొమ్మని, తరువాత ఐదు పిల్లిపిల్లలున్న బొమ్మని చూబించి మొదటి రెండు బొమ్మలని కలిపితే మూడవది వస్తుంది కదా అంటారు. అలాగే కొంత కాలం పోయాక '3+2=5' అవుతుంది సుమా అంటారు. ఎందుకన్న ప్రసక్తి రాదు. అదొక నిజం అంతే! పిల్లలకి దీనికి, ముందు చెప్పిన '2+3=5' కి మధ్య సంబంధం ఏంటో అర్థం కాదు. ఇక ఉండబట్టలేక ఓ అమాయకుడు లేచి అడుగుతాడు ”టీచరుగారండీ! అలా ఎందుకవుతుందండీ?” అని. “అదలా జరుగుతుందంతే!” అని బలంగా వస్తుంది. సమాధానం. మరి కొంచెం చదువుకున్న టీచర్లయితే 'ఓ అదా! కూడిక అనేది దిక్పరివర్తకమైన (commutative) చర్య బాబూ!' అంటారు. దీని భావమేమి అంటూ పసిపిల్లవాడు ఆలోచనలో పడతాడు. 'సరే కూడిక దిక్పరివర్తకమైన చర్యే! బాగానే వుంది! కాని ఎందుచేతనో కాస్త చెప్తారా టీచరుగారండీ?' అనడగడు వాడు. గుండె ధైర్యం చాలదు. ఈ టీచర్లు చెప్పే తలాతోక లేని ముక్కోటి విషయాలలో ఇదొకటి అని ఉదాసీనంగా ఊరుకుంటాడు.

కూడికలు అయ్యీ అవ్వకుండానే తీసివేతలు వచ్చి మీదపడతాయి. మునుపటిలాగే '5-3=2' వంటి ఎన్నో ‘నిజాలు' ప్రవేశ పెట్టబడతాయి. అసలు తీసివేత అంటే ఏమిటి అన్న విషయం మీద టీచర్లు లేనిపోని వివరణలు ఇస్తారు. నేను మునుపు పని చేసిన స్కూల్లో (దీనికి “మంచి” స్కూలు అని పేరు) ఈ విషయం మీద టీచర్ల మధ్య చిన్న సైజు ప్రపంచ యుద్ధాలు జరిగేవి. ఒక బృందం ప్రకారం '5-3=2' అంటే “3కి ఎంత కలిపితే 5 వస్తుంది?” అని అడగడం అన్నమాట. అంగళ్లలో చాలా మంది చిల్లర ఇలాగే లెక్క పెడతారు (ఇది అమెరికాలో చాలా మందికి అలవాటు). వీళ్లు బిల్లులో మొత్తానికి ఎంత కలిపితే మీరిచ్చిన నోట్ల మొత్తం వస్తుందో లెక్క పెట్టి ఆ విధంగా చిల్లర ఇస్తారు. ఈ పద్దతిలో తీసివేత లెక్కని మనకు తెలిసిన కూడిక లెక్క క్రింద మార్చుకుని చేస్తున్నామన్నమాట. ఈ పద్ధతి మంచిదే. కాని ఆ స్కూల్లో గణిత విభాగం హెడ్మాస్టరుకి ఈ పద్ధతి అంటే గిట్టదు. ఆరు నూరైనా నూరు ఆరైనా ఈ పద్ధతిలో మాత్రం తీసివేతలు నేర్పొద్దనేవాడు. తీసివేత అంటే 'తీసేయటం', 'కూడటం' కాదు అని స్పష్టంగా వివరించేవాడు!

ఈ వాదాలతో, ప్రతివాదాలతో, సిద్దాంతాలతో, రాద్ధాంతాలతో అసలే అయోమయ స్థితిలో ఉన్న పిల్లలకి పూర్తిగా తల తిరిగిపోతుంది. తెలీని భాషలో కట్టిన పాటకు సాహిత్యం బట్టీ పడుతున్నట్టు ఏవో నాలుగు పొడిపొడి ముక్కల్ని ముక్కున పట్టడానికి విశ్వప్రయత్నం చేస్తారు. ఆ ప్రయత్నంలో నెగ్గిన వాళ్లు పై చదువులు చదివి 'మంచి పౌరులు' అనిపించుకుంటారు. ఓడిన వాళ్లు 'లెక్కలు రాని వాళ్ళు' అనబడే వెనకబడ్డ తరగతిలో చేరిపోతారు.

నిజానికి ఇదంతా అనవసరం

'2+3=5; 3+2=5; 5-2=2; 5-3=2', ఇవన్నీ ఒక దాంతో ఒకటి సంబంధం లేని వేరు వేరు నిజాలు కావు. వాటన్నిటి వెనుక ఉన్నది ఒకే నిజం. దాన్ని కూడా మంత్రంలా అర్థం తెలీకుండా జపించనక్కరలేదు. వాటన్నిటికీ ఆధారంగా ఉన్నది ఒక ప్రకృతి ధర్మం. ఆ ధర్మాన్ని పిల్లలు వాళ్ళంతకు వాళ్లే తెలుసుకోగలరు. చిన్న చిన్న దైనిక చర్యలలో ఆ సత్యాన్ని పదే పదే పరీక్షించి నిర్ధారణ చేసుకోగలరు.

ఆ సత్యం ఇది -ఎడమ పక్క కనిపించే చుక్కల్లాంటి ఓ వస్తు సముదాయం ఉన్నప్పుడు దాన్ని కుడి పక్క కనిపించే రెండు చుక్కల బృందాల్లా వేరు చెయ్యొచ్చు. అలాగే కుడి పక్కన ఉన్న బృందాలని కలిపి ఎడమ పక్క ఉన్న బృందాన్ని కూర్చవచ్చు.

ఇది కేవలం గణితశాస్త్ర ధర్మం కాదు. ఇది ప్రకృతి ధర్మం. ఇది మనుషులు పుట్టి, అంకగణితాన్ని కని పెట్టాక పుట్టుకొచ్చిన సత్యం కాదు. మనిషి పుట్టక ముందు నుంచీ ఉన్న సత్యం. విశ్వంలో సర్వత్ర వర్తించే సత్యం. ప్రకృతిలో దీన్ని గుర్తించి ధృవీకరించటానికి అంకగణితం నేర్చుకోనక్కర్లేదు. గోళీలతో ఆడుకునే పిల్లవాడు, ఎముక ముక్కల్తో ఆడుకునే కుక్క పిల్ల తెలీకుండానే 'కూడికలు', తీసివేతలు' చేస్తారు. వారి అనుభవంలో ముందే భాగమైన దానికి శాస్త్రం కొన్ని పేర్లు పెడుతుంది, కొంత పరిభాషతో వ్యక్తం చేస్తుంది. మనుషులు ప్రకృతిలో ఇలాంటి ధర్మాలెన్నో గుర్తించి, వాటిని సమీకరించి, ఓ శాస్త్రానికి రూపకల్పన చేశారు.

ఓ చిన్ని కూడికల యంత్రం

కూడికలు, తీసివేతలు నేర్చుకోవడానికి పిల్లలకి క్యాల్కులేటరు ఇవ్వనక్కర్లేదు. ఒక చిన్న కూడికల యంత్రాన్ని మనం సులభంగా చేసుకోవచ్చు. సన్నగా పొడవుగా దీర్ఘచతుర్బుజి ఆకారంలో ఉన్న రెండు తల్లని అట్టలని తీసుకోండి. దాని మీద ఈ క్రింద చూబించినట్ట గురుతులు గీసి, అంకెలు వేయండి.

ఇప్పుడు ఇలాంటి 'స్కేళ్ల'ని రెండింటిని తీసుకుని వాటితో కూడికలు చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి 4+3 కావాలనుకోండి. ఈ క్రింద బొమ్మలో చూబించినట్టు మొదటి స్కేల్లో నాలుగు అంకె పక్కన రెండవ స్కేలు యొక్క ఎడమ కొసని ఉంచాలి. ఇప్పుడు రెండవ స్కేల్లో 3 అంకె పక్కన మొదటి స్కేల్లో ఏ అంకె వస్తుందో చూడాలి. ఈ చిన్న పరికరంతో పిల్లలు చిన్న చిన్న కూడికలు చేసుకుని క్లాసులో టీచర్లు చెప్పింది సబబో కాదో వారికి వారే నిర్ధారించుకోగలరు.

బట్టీ పద్ధతిలో తెలీని ఎన్నో విషయాలు ఈ చిన్న గణనయంత్రంతో నేర్చుకోవచ్చు. ఉదాహరణకి ఒక స్కేలులో నాలుగు వద్ద రెండో స్తేలు మూలాన్ని ఉంచాం. ఇప్పుడు స్కేళ్లని సూటిగా చూసి ఈ విషయాలనీ చెప్పెయ్యొచ్చు.

నాలుగుకి కలిపే అంకెని ఒక్కొటొక్కటిగా పెంచుతూ వస్తే మొత్తం కూడా ఒక్కొటొక్కటిగా పెరుగుతూ వస్తుంది. మనకిది తెలుసు కనుక చాలా సామాన్య విషయంలా అనిపిస్తుంది గాని “కూడికల గురించిన నిజాలు" బట్టీ పట్టిన చాలా మంది పిల్లలకి ఇది అంత సామాన్యంగా స్పురించదు. 6+6=12 , అవుతుందని చెప్పగలిగిన ఎంతో మంది పిల్లలు 6+7 ఏమవుతుందో చెప్పడానికి ఇబ్బంది పడతారు. చాలా మంది తప్పు చెప్తారు. ఇది స్వయంగా ఎన్నో సార్లు చూశాను.

కూడబడుతున్న రెండు అంకెల్లో ఒక దానికి ఒకటి కనిపితే, ఆ రెండు అంకెల మొత్తానికి కూడా ఒకటి కల్పినట్టవుతుంది అని కనుక్కున్నప్పుడు పిల్లలకి చాలా సరదాగా ఉంటుంది. అంతే 1కి బదులు 2 కూడినా అదే సూత్రం వర్తిస్తుంది. దీన్నే బీజ గణితంలో ఈ సూత్రంలో వ్యక్తం చేస్తాం-x+(y+a)=(x + y)+a కాని ఈ సూత్రం గురించి చిన్న పిల్లలకి చెప్పడం అంత మంచిది కాదు. అయితే ఒకటి. ఈ సూత్రం యొక్క అర్థాన్ని ఎనిమిదేళ్ల పాటు శాస్త్రీయంగా లెక్కలు చేసిన తొమ్మిదో తరగతి పిల్లల కన్నా ఆరేళ్ల పిల్లలు సులభంగా గ్రహిస్తారు అనుకుంటాను.

అమూర్త భావనలు

‘అంకెలు వాస్తవ విషయాలు కావు, అవి అమూర్త భావనలు, వాటిని అలాగే నేర్పాలి' అని వాదించే ప్రజలు కొందరు ఉన్నారు. అయితే అలా వాదించే వారికి ఇటు అంకెల గురించి గాని, అటు అమూర్త విషయాల గురించి గాని, అమూర్తత గురించి గాని సరైన అవగాహన లేదన్నమాట. నిజమే. అంకెలు అమూర్త భావనలే. కాని అవి నిర్దిష్టమైన వాస్తవంలో నుండి జనించిన అనిర్దిష్ట తత్వాలు. వాస్తవం ఆలంబనగా గల అవాస్తవ విషయాలు. వాస్తవ ప్రపంచం యొక్క లక్షణాలని, గుణాలని వ్యక్తం చెయ్యడానికి, నమోదు చెయ్యడానికి మనుషులు అంకెలు కనిబెట్టారు. అలల కదలికలని, గ్రహగతులని, దేశాల సరిహద్దులని, చివరికి మనుషుల ఆరోగ్యం వంటి అనిర్దిష్ట విషయాన్ని కూడా అంకెలతో వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు. ఇండియా దేశపటం అమూర్త భావనే. కాని అది కేవలం ఆ పటం గీసిన చిత్రకారుడి ఊహాకల్పితం కాదు. ఇండియా సరిహద్దులు నిజంగానే అలా ఉంటాయి కనుక పటాన్ని అలా గీయడం జరిగింది.

అంకెల విషయం కూడా అంతే. పోగా పోగా ఏ వస్తువులైతే ఆదిలో అంకెలకి ఆలంబనగా ఉన్నాయో వాటితో ప్రమేయం లేకుండా అంకెలతో వ్యవహరించడం జరుగుతూ ఉంటుంది. అంకెల ప్రపంచంలో, వాస్తవ ప్రపంచంతో సంబంధంలేని ఓ స్వయంపూర్ణ ప్రపంచంలా, సంచరించడం జరుతూ ఉంటుంది. అయితే బాగా వర్ధమాన దశలలోనే అది వీలవుతుంది. కాని పిల్లలకి ఆ ధోరణిలో అంకెలు నేర్పడం అసహజం, అహైతుకం, అర్థరహితం. వాళ్లకి తెలిసిన, వాళ్ల అనుభవంలో భాగమైన విషయాలతో పొత్తును ఎత్తి చూపుతూ, అంకెలు, మ్యాపులు మొదలైన అవాస్తవ విషయాల్ని పరిచయం చేయాలి. నిర్దిష్ట విషయం నుండి అనిర్దిష్ట విషయం వైపు పయనించాలి. ఇప్పుడు మా బావ ఉన్నాడు. అతగాడు సర్వేయరు. అతడికి ఒక ప్రాంతపు మ్యాపుని చూడగానే అందులో మిట్టపల్లాలు ఎక్కడ ఉన్నాయో, కొండలెన్నో, కొలనులెన్నో, మొత్తం మీద ఆ ప్రాంతపు రూపు రేఖలావణ్యాలేమిటో అంతా కళ్ళకు కట్టినట్టు కనిపిస్తుంది. మరి కళ్లు పొడుచుకున్నా నాకలా కనిపించదే! నాకా మ్యాపులో అర్థంలేని వంకర గీతలే కనిపిస్తాయి. అతడా రంగంలో నిష్ణాతుడు కనుక మ్యాపును చూసి దానికి ఆలంబనగా గల వాస్తవాన్ని ఠక్కున అందుకోగలడు. నాలాంటి పామరుడికి అది సాధ్యం కాదు. అలాగే పిల్లలకి అంకెలు నేర్పే విషయంలో కూడా ఈ నియమాన్ని మరచిపోకూడాదు. అసతోమా జ్యోతిర్గమయా లాగ ఆ నియమాన్ని ఇలా సూత్రీకరించుకోవచ్చు - నిర్దిష్టం నుండి అనిర్దిష్టానికి, మూర్తి నుండి అమూర్తానికి, వాస్తవం నుండి అవాస్తవానికి.

గుణకారము

కూడికలు నేర్పినట్టే గుణకారం కూడా నేర్పిస్తుంటారు. '2X3 = 6' వంటి ఎన్నో నిజాలను గుర్తు పెట్టుకోమంటారు. 2X3 = 6 అయినట్లే 3X2 కూడా 6 అవుతుందంటారు. 'అరె! అదెలా?' అని పిల్లలు అడిగితే 'గుణకారం అనే క్రియ దిక్పరివర్తకమైనది' అనేసి నోరు మూయించేస్తారు. ఇది సరిపోనట్టు 2X3 = 6 వంటి ఎన్నో ఉదాహరణలని ఓ పట్టికలా సేకరించి వాటికి ఎక్కాలు అని పేరు పెట్టి శ్రద్ధగా బట్టీ పట్టిస్తారు. వీటిని పొల్లుపోకుండా చెప్పగల వాడికి లెక్కల్లో తిరుగు లేదన్నమాట. ఇలా కొన్నేళ్లు గడిచాక పిల్లలకి భిన్నాలు (fractions) ఎదురవుతాయి. అప్పుడు మళ్లీ ‘½ X6 = 3' వంటి కథలు వినటం జరుగుతుంది. ఉదాహరణకి గుణకారానికి, భాగహారానికి, భిన్నాలకి సంబంధించిన కొన్ని నిజాలని తీసుకుందాం.

2X3 = 6; 3X2 = 6;

6/2 = 3; 6/2 = 3;

½X6 = 3; 1/3X 6 = 2;

6X½ = 3; 6X1/3 = 2

6 లో 2 మూడోవంతు

6 లో సగం 3

2, 3, 6 యొక్క కారణాంకాలు

మామూలుగా పై విషయాలన్నీ ఒకదాంతో ఒకటి సంబంధంలేని విషయాలుగా ప్రదర్శించడం జరుగుతంది. కాని, కూడికల విషయంలో చెప్పుకున్నట్టు, అవన్నీ కూడా ఒకే నిజం యొక్క విభిన్న రూపాలే. అదెలాగంటే క్రింద 6 చుక్కలని,

క్రింది విధంగా ఏర్పాటు చెయ్యొచ్చు.

పైన పేర్కొన్న అంకెల నిజాలన్నీ ఈ మౌలిక చర్య యొక్క ప్రతిరూపాలే.

చుక్కలని అలా పలు వరుసలలో అమర్చుతూ పోతే గుణకారానికి, భాగహారానికి అర్థం మెల్లగా అర్థమవుతుంది. మరో అడుగు ముందు కెళ్తే మరో ముఖ్యమైన విషయం కూడా తెలుసుకోవచ్చు. కొన్ని అంకెలతో చుకల్ని ఒకటి కన్నా ఎక్కువ పూర్ణ వరుసలుగా అమర్చడం వీలుపడదు. ఒకటి కన్నా ఎక్కువ వరుసలుగా అమర్చడానికి ప్రయత్నిస్తే చివరి వరుస అసంపూర్ణంగా మిగిలిపోతుంది. అలాంటి అంకెలే ప్రధాన సంఖ్యలు. ఇవి 1, 3, 5, 7, 11, 13... మొదలైనవి. ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క ఈ తత్వం అర్థమయ్యాక కావాలంటే వాటితో బాటు మరో రెండు విషయాలు కూడా చెప్పొచ్చు. కంప్యూటర్ల సహాయంతో ఎంతో పెద్ద సంఖ్య వరకు ఈ ప్రధాన సంఖ్యలని కనుక్కున్నారని, వరుసగా ప్రధాన సంఖ్యలన్నిటినీ ఇచ్చే సూత్రాన్ని ఇంత వరకు ఎవరూ కనుక్కోలేదని చెప్పొచ్చు.

పైన చుక్కలతో అంకెల గురించి చెప్పిన ఆటలు ప్రతీ పిల్లవాడికి, పాపకి నేర్పాలని, ముఖ్యంగా పిల్లలకి అంకగణితం ఇలాగే నేర్పాలని మాత్రం నేను ససేమిరా అనడం లేదు. చదవడం విషయంలో లాగానే అంకగణితం విషయంలో కూడా పిల్లలు ఇలాంటి అనియత పద్దతులతో మరింత సులభంగా, బాగా నేర్చుకుంటారని నా నమ్మకం. అంకగణితం తెలీని వాళ్లు ఎంతో మంది పెద్ద పెద్ద ఉద్యోగాలు చేసుకుంటూ సుఖంగా బతకడం మనం చూస్తుంటాము. అలాగని అంకగణితం అక్కర్లేదని కాదు. జీవితంలో ఎన్నో రంగాల్లో చాలా ఉపయోగపడుతుంది. దాన్ని నేర్చుకోవడం అవసరం. కనుక ఆ నేర్చుకునేదేదో ఆసక్తికరంగా, సజీవంగా ఉంటే బావుంటుందని నా అభిప్రాయం.

• పిల్లల ప్రాధమిక అనుభవాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని అంకెలు నేర్పితే వాళ్లు సహజంగా నేర్చుకుంటారు
• కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు-ఈ క్రియలన్నీ ఒకదాంతో ఒకటి సంబంధం ఉన్న క్రియలే అని పిల్లలు మొదటి నుండి అర్థం చేసుకుంటారు.

ఎక్కాల ఎక్కిళ్లు

జీవితంలో చక్కగా స్థిరపడి సుఖంగా బతుకుతున్న ఎంతో మంది పెద్ద వాళ్లకి ఎక్కాలు రావు. కాని అవి వస్తే చేదోడుగా ఉంటాయి. అయితే ఎక్కాలని బట్టీ పట్టే కన్నా వాటి సారాంశాన్ని గ్రహించడానికి ఎన్నో ఆసక్తికరమైన పద్ధతులు ఉన్నాయి. గుణకారానికి సంబంధించిన కొన్ని ప్రాధమిక ఫలితాల పట్టిక లే ఎక్కాలు. మన మాతృభాషలో మనకి తెలిసిన వేలాది పదాలని ప్రత్యేకించి మనం పట్టికలు పట్టుకుని బట్టీ పడుతూ పోము కదా. సందర్భన్ని బట్టి ఒక్కో పదం నేర్చుకుంటూ పోతాం. వాడుకతో ఆ పరిజ్ఞానం స్థిరపడిపోతుంది. అలాగే ప్రత్యేకించి ‘ఎక్కాలు' అన్న పేరుతో కాకపోయినా ఎక్కాల్లోని సారాన్ని ఇతర విధాలుగా పిల్లలు తెలుసుకోగలరు. అలాంటి ఒక పద్ధతిని ఇక్కడ వివరిస్తున్నాను.

10 X 10 పరిమాణం ఉన్న ఒక చదరంగం తీసుకోవాలి (చూడు పటం 1). చదరంగానికి అడ్డుగా పైన 1 నుండి 10 వరకు అంకెలు రాయాలి. అలాగే ఎడమ అంచున నిలువుగా 1 నుండి 10 వరకు అంకెలు రాయాలి. ఇప్పుడు చదరంగంలోని ప్రతీ చదరానికి ఓ అడ్డు అంకె, ఓ నిలువు అంకె ఉంటుంది. చదరం యొక్క ఆ అడ్డు, నిలువు అంకెలని గుణిస్తే వచ్చే అంకెని ఆ చదరంలో పూరించాలి. అలా చదరంగం మొత్తాన్ని పూరించాలి. ఉదాహరణకి క్రింద పటంలో కొన్ని గళ్లు ముందే నింపి ఉన్నాయి. ఉదాహరణకి నిలువు 2, అడ్డు 3 ఉన్న గడిలో 6 ఉంది. అలాగే మరి కొన్ని గళ్లు కూడా నింపబడ్డాయి.

పిల్లలకి ఈ గళ్లు నింపడానికి తగినంత గడువు ఇవ్వాలి. కొన్ని వారాలు, నెలలు పట్టినా ఫరవాలేదు. ఆ పటాన్ని బాగా కనిపించేట్టు వీలుగా ఒక చోట అంటించాలి. వాళ్లకి బుద్ధి పుట్టినప్పుడల్లా కొద్దికొద్దిగా గళ్లు నింపుకుంటూ వస్తారు. బహుశ ఏం చేస్తారంటే ముందు ‘చిన్న’ గళ్లు (ఎడమ పైభాగాన ఉన్నవి) నింపుతారు. మెల్లగా మిగతావి నింపుకుంటూ వస్తారు. చిన్నవి నింపాక మెల్లగా పెద్దవి క్రమంగా వాళ్లకి సులభం అనిపిస్తాయి. పిల్లలకి ఏదైనా సులభం అనిపించిందంటే వాళ్లకి ఆ విషయం ముందే తెలుసు అన్నమాట.

పూరించేటప్పుడు ఎక్కడైనా పొరబాటు జరిగితే వెంటనే సరిదిద్దకండి. వొదిలేయండి. పటంతో పరిచయం పెరుగుతున్న కొలది ఎక్కడో ఏదో లోపం జరిగిందని వాళ్లకే తెలుసుతుంది. పొరబాట్లు వాళ్లే గుర్తించగలరు. అంకెల మధ్య పరివర్తనలు కొన్ని నియమాలని అనుసరించి అమరికగా జరుగుతాయని అనుభవం మీద వాళ్లే తెలుసుకుంటారు. చదివేటప్పుడు కూడా వాళ్లు చదివే దాంట్లో పొరబాట్లని ఇలాగే సరిదిద్దుకుంటారు. కనుక అంకెల మధ్య పరివర్తనలు కొన్ని నియమాల అనుసారం జరుగుతాయని గుర్తించడం ముఖ్యం గాని ఎక్కాలు బట్టి వేయడం ముఖ్యం కాదు.

ఒక సారి పటం నిండి పోయాక మరో ఖాళీ పటం తెచ్చి అదే స్థానంలో పెట్టవచ్చు. ఈ సారి పటాన్ని ఇంకా తక్కువ సమయంలో నింపగల్గుతారు. మొదటి సారి నింపినప్పుడు దొర్లిన తప్పులలో కొన్ని రెండవ సారి మాయమైపోవచ్చు. ఇలా రెండు మూడు సార్లు చేస్తే పిల్లవాడికి గుణింతం అంటే ఏంటో పట్టుబడుతుంది.

ఈ ‘పటం పూరించే ఆట'లో కొన్ని తమాషా రూపాంతరాలు.

1. కొంత వ్యవధి పెట్టుకుని (ఉదాహరణకి 5 నిముషాలు అనుకుందాం) ఆ వ్యవధిలో ఎన్ని వీలైతే అన్ని గళ్లు నింపమనాలి. చేయ చేయగా ఇంకా వేగంగా చేయగలరు. ఏదీ! ఇంతకు ముందు సారి కన్నా వేగంగా చేయగలరో లేదో చూద్దాం!' అని పందెం పెట్టాలి. పిల్లలకి వాళ్ళ 'రికార్డులు' వాళ్లు భేదించుకోవడం అంటే సరదా!
2. పిల్లల్ని కింద నుండీ పైకి నింపమనాలి. అప్పుడు ముందు కష్టమైన గుణకారాలు వస్తాయి.
3. పటానికి పైన, ఎడమ పక్క ఏ క్రమమూ లేకుండా అంకెలు వేసి అప్పుడు పటం నింపమనాలి. ఇది కొంచెం కష్టం. ఇప్పుడు ఎంత సమయం పడుతుందో చూడాలి.

బహుశ ఇంత అభ్యాసం కూడా అక్కర్లేదేమో. 2 ని 3తో గుణించడం ఎలాగో అర్థం చేసుకున్న పిల్లలు మెల్లగా ఎక్కాలన్నీ వాళ్లంతకు వాళ్లే నిర్మించుకో గలుగుతారు. అయితే ఒకటి. ఒకసారి గుణకారం అంటే ఏంటో అర్థమయ్యాక ఎక్కాలు నిర్చుకుంటే ఫరవాలేదు. ఎక్కాలు తెలిస్తే పెద్ద పెద్ద గుణకారాలు చెయ్యడం సులభం అవుతుందని అందరికీ తెలిసిందే. కాని ఎక్కాలు నేర్చుకోవడం పెద్ద భారంలా కాక సరదాగా ఉండాలంటే ఏం చెయ్యాలి? ఏదైనా సరదాగా ఉంటే పిల్లలు బాగా నేర్చుకుంటారు. కొన్నేళ్ళ క్రితం నా క్లాసులో పిల్లలకి ఎక్కాలు నేర్పుతూ వాడిన పద్ధతులు కొన్ని ఇక్కడ వివరిస్తున్నాను.

అంకగణితంలో అభ్యాసాలతో వచ్చిన చిక్కేంటంటే వాటితో పిల్లలు బో రెత్తిపోతారు. లేదంటే బెదిరిపోతారు. దాంతో పిల్లలు అసలేమీ నేర్చుకోరు. ఏదో కాస్త నేర్చుకున్నా తొందరగా మరచిపోతారు.

నా మూడవ తరగతిలో కొందరు పిల్లలు ఉన్నారు. వీళ్లకి కూడికలు, తీసివేతలు మొదలైనవి తెలిసినా ఎక్కాల దగ్గర కొంచెం బండి వేగం తగ్గేది. మరి పిల్లలకి ఎక్కాలు రావడం లేదంటే స్కూలు అధికారులకి కంగారు మొదలవుతుంది. పిల్లకి ఎక్కాలు నేర్పించడం ఎలా? అప్పుడో ఆలోచన వచ్చింది. మనం టెలీఫోన్ నంబర్లు ఎలా గుర్తు పెట్టుకుంటాం? దాని ధ్వనిలోని లయని బట్టి కదా? ఈ సూత్రాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని ఎక్కాలు నేర్పించగలమా? అంతే కాకుండా ఆ నేర్చుకునేది కొంచెం సరదాగా ఉండేట్టు చెయ్యగలమా?

నేను వాడిన పద్దతుల్లో ఈ క్రిందిది బాగా పని చేసింది. 6 నుండి 9 వరకు అంకెల గుణకారాలతో బోర్డు మీద ఒక గళ్ల చిత్రం నిర్మించాను. 6 నుండి 9 ఎందుకంటే పిల్లలకి ఇవే కష్టం అనిపిస్తాయి.

6 నుండి 9 మధ్య ఏవైనా రెండు అంకెల ఫలాన్ని పటం చూసి చెప్పమనే వాణ్ణి. పిల్లలు మొదట్లో లబ్దం ఉన్న గడి కోసం వెతుక్కునేవారు. కనుక జవాబు చెప్పటానికి ఆలస్యం అయ్యేది. కొంచెం అలవాటు అయ్యాక వెదుక్కోకుండా ఠక్కున చెప్పేవారు. ఈ దశ చేరుకున్నాక నాకో ఆలోచన వచ్చింది.

నేను పటంలో అక్కడక్కడ అంకెలు చెరిపెయ్యడం చూసి పిల్లలు ఆశ్చర్యపోయారు. ఇప్పుడు మళ్లీ అంకెల లబ్దాలని అడగడం మొదలెట్టాను. ఏ లబ్దాలనైతే చెరిపేశానో వాటిని కొంచెం ఎక్కువ సార్లు అడగసాగాను లేకపోతే పిల్లలు మరచిపోతారని. ఈ సారి కూడా పిల్లలు జవాబులు సరిగ్గా చెప్పగలిగారు. గళ్లలో లేని అంకెలు వాళ్లకి జ్ఞాపకం ఉన్నందుకు వాళ్లే ఆశ్చర్యపోయారు. అంకెలని ఎలా గుర్తు పెట్టుకున్నారు? వాడి ధ్వని రూపం బట్టీనా, శబ్దరూపం బట్టీనా అని ఆడుగుదాం అనుకుని ఊరుకున్నాను. అలాంటి అనవసరమైన ఆత్మపరిశీలన వల్ల గుర్తుంచున్నది మరచిపోతారేమో నని భయపడ్డాను.

క్రమంగా ఇంకా ఇంకా గళ్లు ఖాళీ చేస్తూ వచ్చాను. చాలా మటుకు గళ్లు ఖాళీ అయినా అంకెలు గుర్తుండడం చూసి పిల్లలకి ఉత్సాహం హెచ్చయ్యింది. కాని ఒక సారి ఎమయ్యిందంటే ఒక ఖాళీ గడిని ఎలా పూరించాలో క్లాసులో ఎవరికీ తెలీలేదు. నేను వెంటనే ఆ లబ్దం ఆ గడిలో నింపేశాను. అది చూసి కొందరు పిల్లలు “అబ్బ! నేను సరిగ్గా అదే అనుకున్నాను!'' అంటూ కేకలేశారు. క్రమంగా మరిన్ని గళ్లు ఖాళీ చేస్తూ పోయాను. ఇప్పుడు గళ్లు నింపడం ఓ పందెంలా తీసుకుని ఉత్సాహంగా పిల్లలంతా పాల్గొన్నారు. చివరికి ఎవరికీ తెలీని ఓ గడి నింపమన్నాను. ఎవరూ మాట్లాడలేదు. నేను బోర్డు దగ్గరి కెళ్లి గడి పూరించబోయాను. “వద్దు! వద్దు! మీరు రాయకండి. మేమే చెప్తాం” అంటూ పిల్లలంతా కేకలు పెట్టారు. ఇలా సరదాగా సాగింది మా ఆట. చివరికి గళ్ళన్నీ పూరించబడ్డాయి. పిల్లలు గెలిచారు.

ఈ ఆటల వల్ల పిల్లలకి ఎక్కాలంటే, గుణకారం అంటే భయం పోయింది. దాన్నొక ఆటలాగే చూశారు గనుక ఆటలాగే సునాయాసంగా ఆడగలిగారు.

పెద్ద పెద్ద అంకెల్ని గుణించడం

పెద్ద పెద్ద అంకెలని గుణించడానికి ఒక మౌలిక సత్యం ఆధారంగా ఉంది. ఆ సత్యానికి ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం.

అంటే 2X8 అనే గుణకారాన్ని 2X3, 2X5, అని రెండు రెండు గుణకారాల కింద విడదీయవచ్చన్నమాట. ఇదిలా జరుగుతుంది అని కొన్ని ఉన్నత శ్రేణి లెక్కల పుస్తకాలు చర్చిస్తాయి. గుణకారం కూడిక మీద “విభాజకంగా” పని చేస్తుందని వివరణ ఇస్తారు. ఇలాంటి వివరణల వల్ల పెద్దగా ప్రయోజనం ఉండదు. దీన్ని కేవలం ఒక ప్రకృతి సత్యం కింద తీసుకోవాలంతే. కావాలంటే నిత్య జీవితం నుండి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వొచ్చు. ఇప్పుడు మనం వంకాయ కూర చేద్దామనుకుందాం. దానికి ½ కిలో వంకాయలు + టీస్పూను ఉప్పు + టీస్పూను కారం + రెండు టీ స్పూన్లు నూనె కావాలనుకుందాం. ఇప్పుడు దీనికి రెండింతలు కూర కావాలంటే 2X (½ కిలో వంకాయలు+1 టీస్పూను ఉప్పు+1టీస్పూను కారం+2 టీ స్పూన్లు నూనె) అంటే (1 కిలో వంకాయలు+2టీస్పూనుల ఉప్పు+2టీస్పూనుల కారం+4టీ స్పూన్లు నూనె)తో సమానం కదా! ఈ విషయం అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు. ఈ ప్రాథమిక ‘వంకాయ కూర’ సూత్రమే పెద్ద పెద్ద అంకెల గుణకారానికి పునాది!

అలాగే 7 వస్తువుల సమూహాన్ని 3 వస్తువుల సమూహంగా, 4 వస్తువుల సమూహంగా విడదీయవచ్చు. అదే విధంగా రెండు 7 వస్తువుల సమూహాలని రెండు 3 వస్తువుల సమూహాలుగా, రెండు 4 వస్తువుల సమూహాలుగా విడదీయవచ్చు. ఇదే విషయాన్ని చూక్కలతో చూపవచ్చు.

1) 7 = 3+౪

****** = **** + ***

2) 2X7=2X(4+3)

****** **** + *** = ****** ****+ ***

పెద్ద పెద్ద అంకెల గుణకారంలో ఇది మనకు పనికి వస్తుంది. ఎందుకంటే ఇప్పుడు మనం 67X8 చెయ్యాలనుకుందాం. కూడిక పద్ధతిలో చెయ్యాలంటే 8 సార్లు 67 రాసి వాటన్నిటినీ కూడాలి. ఇది తలనొప్పి. అలా కాక 67ని 67=60+7 అని రాస్తే, అప్పుడు

67X8 = (60+7) X 8 = 60X8 + 7X8

= 480 + 56

= 536

అని గుణకారం చెయ్యొచ్చు. ఈ విధానానికి కొంచెం అలవాటు పడ్డామంటే, కొంచెం జాగ్రత్తగా పరిశీలించామంటే పెద్ద అంకెల గుణకారంలోని మర్మాన్ని, లేదా చిట్కాని, పద్ధతిని (దీన్ని గణితశాస్త్రవేత్తలు 'అల్గారిథమ్' అంటారు) మనం కనుక్కోవచ్చు.

గుణకారాన్ని పైన చెప్పినట్టు పలు గుణకారాలుగా విడదీ సే చుట్టుతిరుగుడు పద్ధతిని మాన్పించేసి మామూలుగా అందరూ చేసే సరళ పద్దతి పిల్లలకి నేర్పించేయాలని తొందరపడకూడదు. ఒక రకంగా చూస్తే అది మరీ అంత సరళ పద్దతేం కాదు. సున్నాలు కొంచెం తగ్గుతాయి అంతే. సరిగ్గా అర్థం కాకుండా మామూలు పద్ధతితో తికమకపడుతూ పడే అవస్థ కన్నా పై పద్దతికి కొంత కాలం అలవాటు పడనివ్వడమే మేలనుకుంటాను. ఉదాహరణకి 562 X 74 చెయ్యాలంటే 562 X 70 మరియు 562 X 4 అని వేరు చేసి, ఆ వచ్చిన ఫలాలని కలుపుకుని పిల్లలు లెక్క చేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో గుణకారాలు చేయగా చేయగా వాళ్లకి దీనినే ఇంకా వేగంగా చేయొచ్చేమో నన్న ఆలోచన కలిగినప్పుడు మామూలు పద్ధతిని ప్రవేశ పెట్టవచ్చు. అంతే గాని అర్థం చేయించకుండా స్కూళ్లలో చేయించినట్టు వారాలు, నెలల తరబడి (నిజజీవితంలో అరుదుగా తప్ప వాడబోయేది కూడా లేని) మామూలు పద్ధతిని పిల్లల చేత అభ్యాసం చేయించడం వల్ల ప్రయోజనం ఏమిటో నాకెప్పుడూ అర్థం కాదు.

భిన్న పద్ధతుల్లో భిన్నాలు

నేను ఐదో క్లాసు టీచరుగా ఉండే రోజుల్లో, పిల్లలకి ఇంకా భిన్నాలు చెప్పని రోజుల్లో, అసలు భిన్నాల ప్రసక్తి కూడా తీసుకురాక ముందు పిల్లల్ని ఇలాంటి చిన్న చిన్న ప్రశ్నలు వేస్తూ ఉండేవాణ్ణి. ఇప్పుడు మీ వద్ద 3 మూడు చాక్లెట్లు ఉన్నాయనుకోండి. ఆ మూడింటినీ 5 మందికి ఎలా పంచుతారు?' అలాంటి ప్రశ్నలకి పిల్లలు రకరకాలుగా సమాధానాలు చెప్పేవారు. కాని వాళ్లకి భిన్నాలు నేర్పేసిన తరువాత, ఇలాంటి లెక్కలు భిన్నాలు ఉపయోగించి చెయ్యాలి అని వాళ్లకి పూర్తిగా తర్ఫీదు ఇచ్చిన తరువాత, ఇంక చెయ్యలేక పోయేవారు! వాళ్లకి మామూలుగా ఉండే అనుభవం, ఆలోచన, సృజనాత్మకతల స్థానంలో ఇప్పుడు కొత్తగా ఈ వింత “సూత్రాలు” వచ్చి చేరాయి. వాటిని ఎలా వాడాలో, ఎప్పుడు వాడాలో, అసలెందుకు వాడాలో తెలీని గందరగోళ పరిస్థితి ఏర్పడింది.

What do I do on Monday? (సోమవారం రోజు నేనేం చెయ్యాలి?) అన్న పుస్తకంలో ఈ సమస్యనే కొంచెం విపులంగా వివరించాను.

“అసలు చిక్కెక్కడ వస్తుందంటే మన వివరణల వల్ల పిల్లలకి అంతా ఇంకా అయోమయంగా తోస్తుంది తప్ప స్పష్టం కాదు. 1/2, 1/3 ఎలా కలుపుతామో చెప్పేటప్పుడు రెండు భిన్నాలని హారంలో 6 వచ్చేట్టుగా రాసుకోవాలని చెప్తారు. అలా ఎందుకయ్యా అనడిగితే “మరి దోసకాయలని, దొండకాయలని కలపలేంగా?'' అని ఏదో వెకిలి సమాధానం ఇస్తారు. అది తప్పుడు మాట. దోసకాయలని, దొండకాయలని నిక్షేపంగా కలపొచ్చు. నేను మార్కెట్టుకి వెళ్లినప్పుడల్లా దోసకాయలు, దొండకాయలే కాక మరెన్నో కూరల్ని ఒకే సంచీలో వేసుకు తెస్తాను. అంటే దోసకాయలని, దొండకాయలని కలిపినట్టే కదా. అలాగే ఒక రైతు కొన్ని ఆవులని, గొర్రెలని ఒకే చావిడిలో కట్టేయొచ్చు. అలాగే ఓ కార్ల వ్యాపారి మారుతీ కార్లు, మాతాజ్ కార్లు ఒకే ఆవరణలో అమ్మకానికి పెట్టొచ్చు.

సమస్య ఎందుకొస్తుందంటే కలపలేం అన్నప్పుడు మన ఉద్దేశ మేమిటో సరిగ్గా స్పష్టం చెయ్యం. ఏమిటి మనం స్పష్టం చెయ్యాలనుకునే సత్యం?

విశేషం ఏమిటంటే చాలా మంది పిల్లలకి ఈ విషయం తెలుసు. తెలియకపోయినా సులభంగా గ్రహిస్తారు. ఒకసారి కొందరు ఆరేళ్ల పిల్లల్ని ఇలా అడిగాను - "ఒక పొలంలో నాలుగు గొర్రెలు మేస్తున్నాయి. తరువాత రెండు ఆవులు కూడా పొలంలోకి వెళ్లాయి. ఇప్పుడు పొలంలో ఏమున్నాయి?” కాసేపు ఆలోచించి వాళ్లలో చాలా మంది, “5 జంతువులు” అని సమాధానం చెప్పారు.

ఇక్కడ స్పష్టీకరించవలసిన విషయాలు రెండున్నాయి. మనం రెండు విషయాలని కూడగలమా లేదా అని అడిగినప్పుడు ఆ ప్రశ్న కూడిక క్రియని గురించి కాదు. కూడగా వచ్చినదాన్ని ఎలా వ్యక్తం చెయ్యాలి అన్నదాని గురించి ప్రశ్న. దేన్ని దేనితోనైనా కూడొచ్చు. కాని సమాధానాన్ని ఎలా వ్యక్తం చెయ్యాలి అన్నది ప్రశ్న. ఇక రెండవ విషయం ఇది. ఇక్కడ మనం కూడగా వచ్చిన విషయాన్ని ఒకే అంకెతో వ్యక్తం చెయ్యాలి - ఆ అంకే హారం. మనం కూడేవి దొండకాయలు, దోసకాయలు కావచ్చు. వాటికి ఒకటే పేరు పెట్టాలి - కూరగాయలు. అదే లవం. ఆ పేరు ఒక వర్గాన్ని సూచిస్తుంది. అంటే ఒకే వర్గానికి చెందిన రెండు వస్తువులని కూడుతున్నాం అన్నమాట. నేను ఆవులని, గొర్రెలని కలపమన్నపుడు పిల్లలు ఐదు జంతువులు అని చెప్పారంటే పై సత్యాన్ని గుర్తించారన్నమాట. అంటే వస్తువులకి ఇచ్చే విలువ హారం. రెండిటికీ సమాన లక్షణాన్ని బట్టి వాటికి ఉమ్మడిగా ఇచ్చే పేరే లవం.

ఇప్పుడు ఈ సిద్ధాంతాలని భిన్నాలకి ఎలా వర్తింపజేయొచ్చో చూద్దాం. నా పళ్లెంలో ఒక రొట్టె ఉంది. దానికి అంతదే మరో రొట్టెలో మూడోవంతు ముక్కని తీసుకుని జతచేశాం. ఇప్పుడు నా పళ్లెంలో ఎంత రొట్టె ఉంది?

కావాలంటే సగం రొట్టె ముక్క, మూడో వంతు రొట్టె ముక్క ఉన్నాయనగలను. లేకుంటే ఊరికే రెండు రొట్టె ముక్కలు ఉన్నాయనగలను. ఇక్కడ ముక్కలు అనేది రెండిటికీ సమానమైన ‘లవం' అన్నమాట. అంటే రెండు భిన్నాలని కూడాలంటే ముందు వాటి లవాలని ఒకటి చేయాలి. ఆ సమాధానం సబబే కాని దాని వల్ల నా దగ్గర మొత్తం ఎంత రొట్టె ఉన్నది, ఒక్కొక్క ముక్క ఎంత పెద్దది అన్న సమాచారం రావడం లేదు. కనుక ముందుగా నేను రెండు పనులు చెయ్యాల్సి ఉంది. మొదటిది మొత్తం రొట్టెలో నా దగ్గరున్న ముక్కలు ఎన్నో వంతో తెలిపే విలువ - అదే హారం.

రెండవది ఈ రెండు ముక్కలకి ఒకే పేరు పెట్టాలి - అదే లవం. ఇదెలాగంటే పెద్ద ముక్క ఆరులో మూడో వంతు ముక్క అని, రెండవ ముక్క ఆరులో రెండవ వంతు ముక్క అని అనగలను. ఇప్పుడు ఈ రెండింటినీ కలిపి ఆరులో ఐదో వంతు రొట్టె ముక్క ఉందని సులభంగా తేల్చి చెప్పొచ్చు.

ఇంత సేపూ రొట్టెల గురించి మాట్లాడినా క్లాసులో భిన్నాలు నేర్పడానికి రొట్టెలు, 'పై' పటాలు, వాడడం పొరబాటు అంటాను. ఎందుకంటే పిల్లలకి నిర్ధారణ కోసం రొట్టెల్ని చించి కొలిచే అవకాశం ఉండదు. అందుకే కావాలంటే పిల్లలకి ఒక చిన్న 6 అంగుళాలు పొడవున్న కాగితం బద్ద, ఒక స్కేలు ఇచ్చి, అందులో సగాన్ని, మూడోవంతుని కలిపితే ఎంతొస్తుందని అడగాలి. ఈ పద్ధతిలో పిల్లలు వాళ్లంతకు వాళ్లే కొలుచుకుని రెండు అంగుళాలు అన్న సమాధానాన్ని చేరుకోగలరు. వాళ్లు అమలు చేస్తున్న విధానంలోని నిజం ఏంటో తెలుసుకోగలరు. 'పై' పటాలతో అలాంటి ప్రయోగం కొంచెం కష్టం.

ఒకసారి నాకు బాగా గుర్తు. ఒక ఐదో క్లాసు పిల్లవాడికి 9 గళ్లు పొడవు, 3 గళ్లు వెడల్పు ఉన్న ఒక గ్రాఫ్ పేపరు ఇచ్చి అందులో మూడో వంతు అంటే ఎంతో చూబించమన్నాను. ఎక్కణ్ణుంచీ తెచ్చాడో ఓ 'పై' పటం తెచ్చి అందులో మూడో వంతు భాగాన్ని నేనిచ్చిన కాగితంమీద పెట్టి ‘ఇదుగో సమాధానం!' అన్నట్టు నాకేసి గర్వంగా చూశాడు. ‘అలా కాదురా నాన్నా!' 'పై' పటాలు పైలకి (వృత్తాకారపు కేకు), లేదా వృత్తాలకి మాత్రమే పనిచేస్తాయి అని చెప్పడానికి చూశాను. నేను చెప్పేది ఆ కుర్రాడికి పెద్దాళ్లు ఎప్పుడూ చెప్పే అనవసరమైన చెత్తలాగే అనిపించి ఉంటుంది. తన టీచర్లు ఎప్పుడూ భిన్నాలు అనగానే 'పై' పటాలు గీసేవారు. అందుకని ఆ అబ్బాయికి భిన్నాలు 'పై' పటాలతో అభిన్నం అన్న అభిప్రాయం ఏర్పడిపోయింది. కాని నాతో చదువుకుంటున్నప్పుడు నేను ఇచ్చిన వస్తువులనే వాడాలి, 'పై'లు గైలు లాభం లేదని నచ్చజెప్పడానికి చూశాను. కాని ఉపయోగం లేకపోయింది. భిన్నాల గురించి తన కున్న అవగాహన మారలేదు.

ఇంతవరకు మనం చెప్పుకున్నట్టు దొండకాయలు, దోసకాయలు, గొర్రెలు, ఆవులు వంటి విచిత్ర పదజాలం అంతా పిల్లల మీద గుమ్మరించాలని, అలా చేస్తే వాళ్లకి చక్కగా భిన్నాలు అర్థమైపోతాయని మాత్రం నేను ససేమిరా అనడం లేదు. నేను చెప్పేదల్లా ఒక్కటే. చాలా మంది లెక్కల టీచర్లలా కాక భిన్నాల కూడిక విషయంలో మనం చెప్పేదేంటో మనకి అర్థమైతే చాలు. మనకి అర్థమైతే దాని గురించి చిత్రవిచిత్ర వివరణలు ఇవ్వడం మానేస్తాం. మనకి అర్థమైతే ఎప్పుడు ఎలాంటి వివరణలు ఇవ్వాలో, ఏ పోలికలు చెప్పాలో, ఎలాంటి వస్తువులు చూబించాలో, ఎలాంటి అభ్యాసాలు చేయించాలో, పిల్లలని తికమక పెట్టకుండా భిన్నాలు ఎలా నేర్పించాలో మనకే సులభంగా అర్థమవుతుంది.

అనంతం గురించి చింత

ఒక సారి ఓ తల్లి తన ఆరేళ్ల కొడుకు అడిగే ప్రశ్నల గురించి ఓ చక్కని ఉత్తరం వ్రాసింది. “అనంతం తరువాత ఏం అంకె వస్తుందమ్మా?” అనడి గేట్ట ఆ పిల్లవాడు. మంచి ప్రశ్న అనిపించి అనంతానికి పైన మరే అంకే ఉండదంటూ ఉత్తరం వ్రాశాను. అనంతం కూడా మరో అంకె అన్నట్టుగా పిల్లలు వ్యవహరిస్తారు. కాని కాదు. అనంతం అంటే ‘అంతు లేనిది' అని. ఆ అంతుని, అంచుని చేరుకోలేం. ఎందుకంటే అసలు అంచే లేదు కనుక. ఎంత దూరం వెళ్లినా ఇంకా దూరం ఉంటూనే ఉంటుంది, ఇంకా పెద్ద అంకెలు ఉంటూనే ఉంటాయి. ఈ భావన ఆ రేళ్ళ పిల్లలకి కాదు సరి కదా పెద్దవాళ్లకు కూడా సులభంగా మింగుడు పడదు.

గణితశాస్త్రవేత్తల పరిభాష వాడాలంటే పూర్ణ సంఖ్యలు (1, 2, 3 మొదలైనవి) అనే వర్గంలో గరిష్ఠ సంఖ్య అనేదే లేదు. ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకున్నా దానికి మరో అంకె కూడి గాని, (ఒకటి కన్నా పెద్దదైన) మరో అంకెతో గుణించి గాని మరింత పెద్ద సంఖ్యని తయారు చెయ్యవచ్చు. ఇలాంటి అంకెలని గణితశాస్త్రవేత్తలు 'అనంతం' బదులుగా ‘పర్యవంతం' (transfinite) అంటారు.

ఈ పర్యనంత సంఖ్యల గురించి కాస్టనర్ మరియు న్యూమన్ లు వ్రాసిన 'గణితం - ఊహాశక్తి' అన్న అద్భుతమైన పుస్తకంలో బాగా చర్చించడం జరిగింది. అది ఇప్పుడు అచ్చులో లేదు. మచ్చుకి ఓ పర్యనంత సంఖ్యల వర్గాన్ని తీసుకుందాం - బేసి సంఖ్యల వర్గం. అలాగే పూర్ణ సంఖ్యల వర్గం కూడా పర్యనంత సంఖ్యల వర్గమే. ఇప్పుడు అన్ని పర్యవంత సంఖ్యల వర్గాల పరిమాణం ఒక్కటేనని గణితశాస్త్రం చెబుతుంది. అంటే మొత్తం ఎన్ని బేసి సంఖ్యలు ఉన్నాయో, సరిగ్గా అన్నే పూర్ణ సంఖ్యలూ ఉన్నాయన్నమాట. అదెలా? పూర్ణసంఖ్యల్లో బేసి సంఖ్యలు సగమే అనుకుంటాం కదా? ఇక్కడ వాదం ఇలా వస్తుంది. రెండు వర్గాల్లోని వస్తువుల సంఖ్య ఎప్పుడు ఒక్కటే అంటామంటే, ఒక వర్గంలోని ప్రతీ వస్తువుకి రెండవ వర్గంలోని ఒకే ఒక వస్తువుతో ఒకటి పొత్తు కుదర్చగలిగినప్పుడు. ఉదాహరణకి ఒక చెప్పుల షాపులో ప్రతీ కుడి చెప్పుకి, ఒక్కటే, సరిగ్గా ఒక్కటే, ఎడమ చెప్పు ఉంటుందని అనుకుంటే మొత్తం చెప్పులెన్నున్నాయో తెలీక పోయినా కుడి చెప్పుల సంఖ్య, ఎడమ చెప్పుల సంఖ్యతో సరిసమానం అని సులభంగా చెప్పొచ్చు. అలాగే పూర్ణ సంఖ్యలని తీసుకుంటే వాటిలో ఒక్కొక్క అంకెని సరిగ్గా ఒకే బేసి సంఖ్యతో జత చేయవచ్చు. అదెలాగంటే ఒక్కొక్క పూర్ణ సంఖ్యని 2తో గుణిస్తూ పోతే ఒక్కొక్క బేసి సంఖ్య వస్తూ ఉంటుంది. అంటే, 1కి 2, 2కి 4, 3కి 6, 4కి 8.., 15కి 30... ఇలా అన్నమాట. కనుక పూర్ణ సంఖ్యల వర్గం యొక్క పరిమాణం, బేసి సంఖ్యల వర్గం యొక్క పరిమాణం రెండూ ఒక్కటే.

ఇది అద్భుతమైన, అందమైన నిరూపణ. ఇలాగే భిన్నాల వర్గం, పూర్ణ సంఖ్యల వర్గం రెండింటి పరిమాణం ఒక్కటే అని కూడా నిరూపించారు. అదేంటి? ప్రతీ రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మధ్య లేక్కలేనన్ని భిన్నాలు ఉంటాయి కదా అంటారేమో. కని ఇక్కడ కూడా నియమబద్ధంగా రెండు వర్గాల్లోని అంకెలని జత చేసి నిరూపించొచ్చు.

ఇలాంటి పర్యవంత వర్గాల గురించి ప్రధమ దశలో ఎంతో పరిశోధన చేసిన వాడు జార్జ్ కాంటర్. ఇతని పరిశోధనల్లో కొన్ని పర్యవంత వర్గాల జాతులు ఉన్నట్టు తేలింది. ఈ జాతుల క్రమంలో పై జాతిలోని వర్గాలు క్రింది జాతి లోని వర్గాల కన్నా పెద్దవిగా ఉంటాయి. వాటిలో అన్నిటి కన్నా చిన్న జాతి పూర్ణ సంఖ్యల జాతి. వాటి కన్నా వాస్తవ సంఖ్యల వర్గం పెద్దది. అంతకన్నా పెద్ద జాతి ఉంది. అది ప్రమేయాల జాతి.

ఆరేళ్ల పిల్లవాడికి ఇలాంటి సూక్ష్మ మైన భావాలు జీర్ణించుకోవడం కష్టమే. పిల్లలు అనంతం గురించి అడిగితే ఇది చెప్పి వాళ్లు ఎలా స్పందిస్తారో చూడొచ్చు. పిల్లకి బోరు కొట్టినట్టు అనిపిస్తే, దిక్కులు చూస్తున్నట్టు కనిపిస్తే మన ప్రయత్నం విరమించడం మేలు. అనంతం అనేది ఒక ప్రత్యేక వస్తువు కాదు. 'అంతు లేక పోవడం' అనే లక్షణానికి అది నిర్వచనం, విశేషణం.

ఆధారము:-చెకుముకి