పిల్లలందరూ గణిత ఉపాధ్యాయుడు శేషు కోసం ఎదురు చూస్తుండగా ఉపాధ్యాయుడు తరగతి గదిలోకి ప్రవేశించాడు. పిల్లలు: సార్ ఈ రోజు ‘9’ గురించి చర్చిద్దాం సార్. ప్రసాద్: '9' ని ఇంగ్లీషులో Nine (నైన్), హిందీలో 'నౌ' అని, సంస్కృతంలో ‘నవ’ అని లాటిన్ లో ‘నవం’ అని 'నానో' అని అంటారు. మధు: '9' ని తిప్పించి చూస్తే '6' అవుతుంది. రంగ: '9' భుజాలు కల సరళ సంవృతపటంను నవభజి అంటారు. కేశవ: '9' యొక్క ఆకారం గొడుగు కర్ర, సోదిబుర్ర, మొలకెత్తిన చిక్కుడు గింజ ఆకారంలో ఉంటుంది. బిందు: నవరత్నాల గురించి విన్నాము. అవి 1. వజ్రము 2. ముత్యము 3. ప్రవాళము 4. గోమేదము 5. ఇంద్రనీలము 6. వైడూర్యము 7. పుష్యరాగము 8. పాచి (మరతము) 9. మాణిక్యము ఈ తొమ్మిదింటిని కలిపి నవరత్నాలు అంటారు. అన్నారావు: కళాకారులు బాగా నటిస్తే “నవరసాలు” పండించారంటారు. నవరసాలు అంటే ఏమిటి? శేషు: నటన లేదా నృత్యములలో 1. హాస్యము 2. శృంగారము 3. కరుణము 4. రౌద్రము 5. వీరము 6. భయానకము 7. బీభత్సము 8. అద్బుతము 9. శాంతము వీటిని సంధర్భోచితంగా ప్రదర్శించడము. 15 వేల సం. క్రితం 9 ని ‘IIIIIIIII’ తో సూచించారు. తర్వాత గ్రీకులు 'IX' లేదా ‘VIIII' తో సూచించేవారు రోమన్లు కూడా ‘IX’ ఇలా సూచించేవారు. క్రీస్తు పూర్వం శాతవాహనులు ‘P’ సూచించారు. ఇది ప్రస్తుత రూపానికి కుడి ఎడమలుగా మారిన రూపం. కుషాణులు ‘IXX’ ఇలా రాశారు. ఎందుకంటే ఈ గుర్తులో ‘9’ గీతలు ఉన్నాయి. మన దేశానికి చెందిన ఆర్యభట్ట “ర, ధ” అనే అక్షరాలను 9 కి మారుగా ఉపయోగించారు. ఒక రేఖను ‘9’ కోణాలు వచ్చేట వంచి '9' రూపాన్ని తయారు చేశారు. వెంకటేష్: '9' సంజ్ఞలకు గల చరిత్ర బాగున్నది. ఇక నేను 9 ధర్మాలు చెబుతాను. సహజ సంఖ్యలలో తొమ్మిదవది. పూర్ణాంకాలలో పదవది. ఒక అంకె సంఖ్యలలో పెద్దిది 9. ఆలీ: సంయుక్త సంఖ్యలలో మొట్టమొదటి బేసి సంఖ్య ప్రసాద్ రెండు వరుస సంఖ్యల ఘనాల మొత్తంగా రాయగ కలిగే ఏకైక సంఖ్య 9. 9 = 13+23 కేశవ: 9+9 = 18 9X9 = 81 (18ని త్రిప్పి రాసిన) తులసి: 9 కి కారణాంకాలు 1, 8, 9 ఈ కారణాంకాలలో అదే సంఖ్య (9) తప్ప మిగిలిన కారణాంకాల మొత్తం వర్గ సంఖ్య అవుతుంది. 1+3 = 4 =22 లావణ్య: 9 కి గల కారణాంకాల సంఖ్య 3 (1, 8, 9) తొమ్మిది యొక్క వర్గమూలం 3. ఇలా కారణాంకాల సంఖ్య వర్గమూలంనకు సమానమయ్యే ఏకైక సంఖ్య '9' మాత్రమే. మరియ: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం '9' చే భాగించిన ఆ సంఖ్యను '9' నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. ఉదా. 1 9 8 7 2 4 3 56. ఈ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 1+9+8+7+2+4+3+5+6 = 45. ఇది '9' తో భాగించబడుతుంది. లేక ‘198724356’ 9 భాగిస్తుంది. ప్రవీణ్: ఇది 3 వ వర్గ సంఖ్య 32 = 9. దినకర్: '9' భుజంగా గల పైథాగరస్ త్రికాలు (1) మరియు (1) (9, 12, 15) 412 = 402 + 92 152 = 92 + 122 225 = 81 + 144 (2) (9, 40, 41) 1681 = 1600+81 1681 = 1681 225 = 225 రవి: 9! (9 factorial) = 7! 3! 3! 2! అవుతుంది. శ్రీనిధి: 9 తో ఏ సంఖ్యను కూడిన దాని అంకమూలం అదే సంఖ్య అవుతుంది. 9+8 = 17 = 1+7 = 8 9+7 = 16 = 1+6 = 7 9+6 = 15 = 1+5 = 6 9+5 = 14 = 1+4 = 5 9+4 = 13 = 1+3 = 4 9+3 = 12 = 1+2 = 3 9+2 = 11 = 1+1 = 2 9+1 = 10 = 1+0 = 1 శ్రీవాత్సవ్: '9' తో ఏ సంఖ్యను గుణించిన దాని అంకమూలం '9' అవుతుంది. 9x9 = 81 = 8+1 = 9 9x8 = 72 = 7+2 = 9 9x7 = 63 = 6+3 = 9 9x6 = 54 = 5+4 = 9 9x5 = 45 = 4+5 = 9 9x3 = 27 = 2+7 = 9 9x2 = 18 = 1+8 = 9 9x1 = 09 = 0+9 = 9 శేషు: మూడు '9' లను ఉపయోగించి రాయగలిగే పెద్ద సంఖ్యను చెప్పండి. కేశవ: . శేషు: కాదు. దీనికి శకుంతలా దేవి 999 అని చెప్పినది. 999 = 9 387420489 అంటే 9ని 387420489 సార్లు గుణించడం. దీని విలువలో 369693100 స్థానాలుంటాయని దీని ఒకట్ల స్థానం విలువ '9' అని చెప్పారు. సింధు: ఏదైనా ఒక సంఖ్యను '9' చే భాగిస్తే దానిని త్రిప్పి రాసినా 9 భాగిస్తుంది. ఉదా. 18 అనే సంఖ్యను 9 భాగిస్తుంది. ఈ సంఖ్యను త్రిప్పి రాసిన 81. దీన్ని కూడా 9 భాగిస్తుంది. శైలజ: ఏదైనా ఒక మూడు అంకెల సంఖ్యను abc చే భాగిస్తే abc, acb, bca, bac, cab లను కూడా 9 భాగిస్తుంది. కావున 954, 459, 495, 594, 549 లను కూడా 9 భాగిస్తుంది. కేశవ: 9 కి కారణాంకాలు 1, 8, 9 వీటిని 1= 1x2 - 1 8 = 2x2 - 1 9 = 5x2 - 1 ఇలా రాయగలిగే సంఖ్యలు మూడు మాత్రమే. మిగిలిన రెండూ మీరు ప్రయత్నించండి. తులసి: ఏ రెండు వరుస ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య తేడా 9 గా ఉండదు. బాలాజి: ∏ యొక్క విలువలలో 5 వ దశాంశము 9 గా ఉంటుంది. అలాగే బిలియన్ వ దశాంశము కూడా 9 అని జపాన్ కు చెందిన కెనడా తెలిపారు. శ్రీవాత్సవ్: ఏదైనా ఒక అంతే సంఖ్యను 9 చే గుణించాలంటే ఆ సంఖ్యకు ఒక్కటి తీసివేసి పదుల స్థానంలో రాసి 9 నుండి 10 ల స్థానం విలువను తీసిన ఒకట్ల స్థానం వస్తుంది. ఉదా. (1) 8x9 (2) 6x9 10 ల స్థానం (8-1) = 7 10 ల స్థానం (6-1) = 5 ఒకట్రస్థానం 9-7 = 2 ఒకట్ల స్థానం = 9-5 = 4 కావున 8x9 = 72 కావున 6x9 = 54 ఏదైనా రెండంకెల సంఖ్యను 99 చే గుణించగా ఆ సంఖ్య నుండి 1 తీసివేసి వేలు, వందల స్థానంలోను ఈ సంఖ్యను 99 లో తీసివేసి వదుల, ఒకట్ల స్థానంలో రాయాలి. ఉదా. (1)27 x 99 27 - 1 = 26 9 - 2 = 7 9-6 = 3 27 X 99 = 2673 (2)87 X 99 87 – 1 = 86 9 – 8 = 1 9 – 6 = 3 87 X 99 = 8613 శేషు: ఇప్పడు మీకు ఒక గమ్మతైన విషయం చెప్పి ముగిస్తాను. 57429/06381 = 9 58239/06471 = 9 75249/08631 = 9 95742/10638 = 9 95823/10647 = 9 97524/10836 = 9 వీటిని పరిశీలించండి ప్రతిదానిలో ‘0 నుండి 9’ వరకు గల అన్ని అంకెలను ఒక్కసారి వాడటం జరిగినది. అని నిరూపించడమైనది. పార్థ: సార్, నేను 9 వ ఎక్కమును సులభంగా గుర్తు పెట్టుకొనే విషయం చెబుతాను మొదటి వరుసలో 0, 1, 2 ... 9 అంకెలను పై నుండి క్రిందకి వేసి రెండవ వరుసలో మరలా అవే సంఖ్యలు క్రింద నుండి పైకి వేస్తే సరిపోతుంది. మొదటి వరుస రెండవ వరుస 9 X 1 = 0 9 9 X 2 = 1 8 9 X 3 = 2 7 9 X 4 = 3 6 9 X 5 = 4 5 9 X 6 = 5 4 9 X 7 = 6 3 9 X 8 = 7 2 9 X 9 = 8 1 9 X 10 = 9 0 మరో టెక్నిక్ చెబుతాను 9x4 కావలయునన్న (4-1)-3 ని పదుల స్థానంలోను మరలా (9–3)-6 ను ఒకట్ల స్థానంలో వేయాలి. 9x4 = 36 9x7 = (7-1= 6) పదులస్థానంలోను 9-6=3 ను ఒకట్ల స్థానంలో వేయాలి. ఇలా 9 వ ఎక్కమును గుర్తుంచుకోవచ్చు. ఆధారం: హెచ్. అరుణ